Arens-Michael-Zerlegung

Die Arens-Michael-Zerlegung, benannt nach Richard Arens und Ernest Michael, ist eine mathematische Konstruktion zur Untersuchung von LMC-Algebren. Die Arens-Michael-Zerlegung stellt vollständige LMC-Algebren als projektive Limiten von Banachalgebren dar.

Konstruktion

Es sei $A$ eine LMC-Algebra, das heißt eine topologische Algebra, deren Topologie durch eine gerichtete Familie submultiplikativer Halbnormen $(p_{\alpha }{)}_{\alpha \in I}$ gegeben ist, wobei $\alpha \le \beta$ für $p_{\alpha }\ge p_{\beta }$ steht. Dann ist $N_{\alpha }:=p_{\alpha }^{-1}(0)\subset A$ ein zweiseitiges Ideal und $p_{\alpha }$ definiert durch

${\hat{p}}_{\alpha }(a+N_{\alpha }):=p_{\alpha }(a)$

eine Norm auf der Quotientenalgebra $A/N_{\alpha }$. Die Vervollständigungen der $(A/N_{\alpha },{\hat{p}}_{\alpha })$ sind Banachalgebren, die mit $A_{\alpha }$ bezeichnet werden.

Für $\alpha \le \beta$ definiert $a+N_{\beta }\mapsto a+N_{\alpha }$ einen Algebrenhomomorphismus $f_{\alpha ,\beta }:A_{\beta }\to A_{\alpha }$. Mit diesen Abbildungen erhält man eine Einbettung

$A\to \underset{⟵}{\lim }{A}_{\alpha }:=\{(a_{\alpha }{)}_{\alpha };f_{\alpha ,\beta }(a_{\beta })=a_{\alpha }\mathrm{\forall }\alpha <\beta \}\subset {\mathrm{\Pi }}_{\alpha \in I}{A}_{\alpha }$

in den projektiven Limes des Systems $(A_{\alpha },f_{\alpha ,\beta })$. Damit ist jede LMC-Algebra eine Unteralgebra eines Produkts von Banachalgebren. Dies nennt man die Arens-Michael-Zerlegung.

Wenn $A$ vollständig ist, so ist $A\to \underset{⟵}{\lim }{A}_{\alpha }$ surjektiv und man erhält das Resultat, dass vollständige LMC-Algebren projektive Limiten von Banachalgebren sind. Vollständige LMC-Algebren nennt man daher auch Arens-Michael-Algebren.

Anwendungen

Mittels der Darstellung als projektive Limiten von Banachalgebren können manche Ergebnisse aus der Theorie der Banachalgebren auf (vollständige) LMC-Algebren übertragen werden.

Eine typische Anwendung ist das Invertierbarkeitskriterium von Arens. Mit den Bezeichnungen aus obiger Konstruktion ist ein Element $a\in A$ aus einer Arens-Michael-Algebra mit Einselement genau dann invertierbar, wenn $a+N_{\alpha }$ in jeder Algebra $A_{\alpha }$ invertierbar ist.

Weiter kann man mit diesen Methoden zeigen, dass LMC-Algebren eine stetige Inverse haben, das heißt, dass die Abbildung $x\mapsto x^{-1}$ auf der Menge der invertierbaren Elemente automatisch stetig ist.