Antidiagonalmatrix

Als Antidiagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Gegendiagonale Null sind. Sie ist also von der Form

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& q_n\\ ⋮& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& q_{n-1}& 0\\ 0& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& ⋮\\ q_1& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$.

Formale Definition

Eine $n\times n$-Matrix $A=(a_{ij}{)}_{i,j=1,\dots ,n}$ heißt antidiagonal, wenn für alle $i,j\in \{1,\dots ,n\}$ mit $i+j=n+1$ der $(i,j)$-Eintrag Null ist:

$i+j=n+1\Rightarrow a_{ij}=0$.

Beispiel

Ein Beispiel einer Antidiagonalmatrix ist

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 5& 0& 0\\ 0& 7& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$.

Eigenschaften

Die Determinante von

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& q_n\\ ⋮& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& q_{n-1}& 0\\ 0& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& ⋮\\ q_1& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$

ist

$\det (A)=(-1{)}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}{q}_1{q}_2\dots q_n.$

Falls alle $q_i$ von Null verschieden sind, dann ist $A$ invertierbar und die zu $A$ inverse Matrix ist

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& \frac{1}{q_{{}_1}}\\ ⋮& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \frac{1}{q_{{}_2}}& 0\\ 0& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& ⋮\\ \frac{1}{q_n}& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$-

Das Produkt zweier Antidiagonalmatrizen ist eine Diagonalmatrix. Das Produkt einer Antidiagonalmatrix mit einer Diagonalmatrix (oder umgekehrt) ist eine Antidiagonalmatrix.

Antidiagonalmatrizen sind persymmetrisch.