Additives Funktional

In der Stochastik ist ein additives Funktional (AF) ein stochastischer Prozess, der sich von einem anderen stochastischen Prozess (üblicherweise ein Markow-Prozess bzw. Feller-Prozess) ableitet und eine bestimmte additive Eigenschaft erfüllt. Wenn der Prozess stetig ist, dann wird das stetige additive Funktional oft mit CAF abgekürzt.

Additives Funktional

Sei $X$ ein kanonischer Feller-Prozess mit Zustandsraum $S$ und assoziierter Endzeit $\zeta$. Weiter sei $ℱ$ eine Filtration und ${\theta }_t$ ein Shift-Operator, d. h. ${\theta }_t(Y_s)=Y_{t+s}$ für einen beliebigen Prozess $Y=(Y_t{)}_{t\ge 0}$.

Ein additives Funktional von $X$ ist ein nicht-absteigender und $ℱ$-adaptierter Prozess $F=(F_t{)}_{t\ge 0}$, so dass $F_0=0$ und $F_{\zeta \vee t}:=F_{\zeta }$ sowie die additive Eigenschaft

$F_{s+t}=F_s+F_t\circ {\theta }_s,\text{f.s.},s,t\ge 0$

erfüllt ist.

Erläuterungen

Die letzte Bedingung sollte man als

$F_{s+t}(X_u,u\ge 0)=F_s(X_u,u\ge 0)+F_t(X_{s+u},u\ge 0),\text{f.s.},s,t\ge 0$

interpretieren.

Man kann $F$ und $X$ auch allgemeiner definieren, so dass nur die additive Eigenschaft erfüllt ist.

Beispiele

• Sei $f$ eine einfache, messbare Funktion auf $S$, dann wird der Prozess

$F_t:=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(X_s)\mathrm{d}s,t\ge 0,$

elementares additives Funktional genannt.

• Sei $f$ wie oben und $F_t$ ein stetiges additives Funktional, dann ist das stochastische Integral

$G_t:=(f\cdot F{)}_t=\underset{s\le t}{\int }f(X_s)\mathrm{d}{F}_s,t\ge 0,$

ein weiteres additives Funktional

• Die Lokalzeit eines Prozesses ist ein weiteres Beispiel.

Potential eines additiven Funktionals

Für ein stetiges additives Funktional $F$ und eine Konstante $\alpha$ definieren wir das $\alpha$-Potential als

$U_F^{\alpha }(x)=E_x\left[\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha t}\mathrm{d}{F}_t\right],x\in S$

sowie für eine Funktion $f$

$U_F^{\alpha }f:=U_{f\cdot F}^{\alpha }.$

Literatur

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