Achilles-Zahl

72 ist eine Achilles-Zahl, dargestellt mit Cuisenaire-Stäbchen

Eine Achilles-Zahl $n$ ist eine potente Zahl, die keine perfekte Potenz ist. Bei potenten Zahlen $m$ ist mit jedem Primteiler $p$ von $m$ auch $p^2$ ein Teiler von $m$. Somit muss auch jeder Primfaktor der Achilles-Zahl $n$ mindestens zur zweiten Potenz in seiner Faktorisierung vorkommen.

Eine starke Achilles-Zahl ist eine Achilles-Zahl, deren Totient ebenfalls eine Achilles-Zahl ist.

Der Namensgeber Henry Bottomley benannte die Zahlen nach Achilleus, der „powerful but imperfect“ (also mächtig, aber unvollkommen) gewesen sei.

Beispiele

• Die Zahl $784=2^4\cdot 7^2$ ist keine Achilles-Zahl, weil man diese Zahl auch als perfekte Potenz der Form $m^k$ darstellen kann: $784=28^2$.

• Die kleinste Achilles-Zahl lautet:

$72=9\cdot 8=3^2\cdot 2^3$

Die Zahl 72 ist aber keine perfekte Potenz, weil sie nicht darstellbar ist in der Form $m^k$.

• Die kleinsten Achilles-Zahlen lauten:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000, … (Vorlage:OEIS)

• Das kleinste Paar direkt aufeinanderfolgender Achilles-Zahlen lautet:

$5.425.069.447=7^3\cdot 41^2\cdot 97^2$

$5.425.069.448=2^3\cdot 26041^2$

• Die kleinsten $n$, für welche sowohl $n$ als auch $n+1$ Achilles-Zahlen sind, lauten:

5425069447, 11968683934831, 28821995554247, 48689748233307, … (Vorlage:OEIS)

• Das kleinste Paar ungerader aufeinanderfolgender Achilles-Zahlen lautet:

$13.837.575.261.123=3^5\cdot 71^2\cdot 3361^2$

$13.837.575.261.125=5^3\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 29^2\cdot 149^2$

• Die kleinste starke Achilles-Zahl ist $n=500=2^2\cdot 5^3$. Es gibt zu dieser Zahl $n=500$ genau 200 teilerfremde natürliche Zahlen, die nicht größer als $n=500$ sind. Somit gilt für den Totient (also für die Eulersche Phi-Funktion) von 500:

$\phi (500)=200=2^3\cdot 5^2$

Weil $\phi (500)=200$ keine perfekte Potenz ist, aber jeder Primfaktor mindestens zur zweiten Potenz in der Faktorisierung vorkommt, ist sie ebenfalls eine Achilles-Zahl. Somit ist $n=500$ sogar eine starke Achilles-Zahl.

• Die kleinsten starken Achilles-Zahlen lauten:

500, 864, 1944, 2000, 2592, 3456, 5000, 10125, 10368, 12348, 12500, 16875, 19652, 19773, 30375, 31104, 32000, 33275, 37044, 40500, 49392, 50000, 52488, 55296, 61731, 64827, 67500, 69984, 78608, 80000, 81000, 83349, 84375, 93312, 108000, … (Vorlage:OEIS)

Eigenschaften

• Nicht jede potente Zahl ist eine Achilles-Zahl.

Beweis:

$m^k$ mit $m,k\in \mathbb{N}$, $m>1,k>1$ ist eine potente Zahl, aber keine Achilles-Zahl, weil Achilles-Zahlen keine perfekte Potenz sein dürfen. $◻$

• Sei eine Zahl $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$ eine potente Zahl (es muss also $\min (a_1,a_2,\dots a_k)\ge 2$ gelten). Dann ist $n$ eine Achilles-Zahl, wenn gilt:

$\mathrm{ggT}(a_1,a_2,\dots a_k)=1$

Weblinks

• Vorlage:MathWorld