Abgeschlossene Hülle

In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge $U$ eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von $U$.

Definition

Ist $X$ ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss $\bar{U}$ einer Teilmenge $U\subseteq X$ der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$, die $U$ beinhalten. Die Menge $\bar{U}$ ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von $U$.

Ein Punkt $b\in X$ heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von $U$, wenn in jeder Umgebung von $b$ mindestens ein Element von $U$ enthalten ist. $\bar{U}$ besteht genau aus den Berührpunkten von $U$.

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt $X$ das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn $X$ ein metrischer Raum ist), so ist $\bar{U}$ die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in $U$ liegen.

Ist $X$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge $U\subseteq X$ die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in $U$ liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei $X$ ein metrischer Raum mit Metrik $d$. Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle $\overline{B(x,r)}$ einer offenen Kugel

$B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$

mit Radius $r$ und Mittelpunkt $x\in X$ nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

$\bar{B}(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\le r\}.$

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

$\overline{B(x,r)}\subseteq \bar{B}(x,r)$

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

$d(x,y)=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}x=y\\ 0& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}x=y\end{array}$

definiert ist. Dann gilt für jedes $x\in X$:

$\{x\}=B(x,1)=\overline{B(x,1)}⊊\bar{B}(x,1)=X.$

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in denen für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

$B(x,r)⊊\overline{B(x,r)}⊊\bar{B}(x,r).$

Ein Beispiel ist die Menge $X=\{(a,0)|a\in ℝ,-1\le a\le 1\}\cup \{(0,1)\}$ mit der vom euklidischen Raum ${ℝ}^2$ induzierten Metrik. Hier erfüllt $x=(0,0),r=1$ die angegebene Inklusionsbedingung:

$B(0,1)=\{(a,0)\mid a\in ℝ,-1<a<1\}⊊$

$\overline{B(0,1)}=\{(a,0)\mid a\in ℝ,-1\le a\le 1\}⊊$

$\bar{B}(0,1)=\{(a,0)\mid a\in ℝ,-1\le a\le 1\}\cup \{(0,1)\}=X$

Literatur

• Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2003, ISBN 0-8176-4250-1.