9j-Symbol

9j-Symbole nach Eugene Wigner dienen dazu vier Drehimpulse in der Quantenmechanik zu koppeln.

Entsprechend ist das 9j-Symbol folgendermaßen über den Umkopplungskoeffizienten definiert:

\sqrt{(2 j_{3} + 1) (2 j_{6} + 1) (2 j_{7} + 1) (2 j_{8} + 1)} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = ⟨ ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} | ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} ⟩ .

Der Umkopplungskoeffizient auf der rechten Seite transformiert zwischen zwei Basensätze: im Einen wird $j_{1}$ mit $j_{2}$ zu $j_{3}$ gekoppelt und $j_{4}$ mit $j_{5}$ zu $j_{6}$ und danach $j_{3}$ und $j_{6}$ zu $j_{9}$ . Im Anderen wird $j_{1}$ mit $j_{4}$ zu $j_{7}$ gekoppelt und $j_{2}$ mit $j_{5}$ zu $j_{8}$ und danach $j_{7}$ und $j_{8}$ zu $j_{9}$ .

| ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} ⟩ = \sum_{j_{3}} \sum_{j_{6}} ⟨ ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} | ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} ⟩ | ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} ⟩

= \sqrt{(2 j_{7} + 1) (2 j_{8} + 1)} \sum_{j_{3}} \sum_{j_{6}} \sqrt{(2 j_{3} + 1) (2 j_{6} + 1)} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} | ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} ⟩

Symmetrien

Das 9j-Symbol ist invariant unter Reflexion an seinen Diagonalen und bei gerader Permutation der Reihen oder Spalten:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{4} & j_{7} \\ j_{2} & j_{5} & j_{8} \\ j_{3} & j_{6} & j_{9} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{9} & j_{6} & j_{3} \\ j_{8} & j_{5} & j_{2} \\ j_{7} & j_{4} & j_{1} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{7} & j_{4} & j_{1} \\ j_{9} & j_{6} & j_{3} \\ j_{8} & j_{5} & j_{2} \end{matrix}} .

Bei ungerader Permutation von Reihen oder Spalten wird mit dem Phasenfaktor $(- 1)^{S}$ multipliziert, mit $S = \sum_{i = 1}^{9} j_{i}$ . Beispiel:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = (- 1)^{S} {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = (- 1)^{S} {\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{6} \\ j_{8} & j_{7} & j_{9} \end{matrix}} .

Zurückführung auf 6j-Symbole

Die 9j-Symbole lassen sich als Summen über Produkte von drei 6j-Symbolen ausdrücken:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = \sum_{x} (- 1)^{2 x} (2 x + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{4} & j_{7} \\ j_{8} & j_{9} & x \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{2} & j_{5} & j_{8} \\ j_{4} & x & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{3} & j_{6} & j_{9} \\ x & j_{1} & j_{2} \end{matrix}}

.

Dabei wird über alle $x$ summiert, bei denen für die Faktoren die Dreiecksbedingung erfüllt ist (siehe 3j-Symbol oder 6j-Symbol).

Spezialfall

Ein Spezialfall ist, falls das 9j-Symbol proportional einem 6j-Symbol ist:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & 0 \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{3}, j_{6}} δ_{j_{7}, j_{8}}}{\sqrt{(2 j_{3} + 1) (2 j_{7} + 1)}} (- 1)^{j_{2} + j_{3} + j_{4} + j_{7}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{7} \end{matrix}} .

Orthogonalitätsrelation

Die 9j-Symbole erfüllen die Orthogonalitätsrelation:

\sum_{j_{7} j_{8}} (2 j_{7} + 1) (2 j_{8} + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & {j_{3}}^{'} \\ j_{4} & j_{5} & {j_{6}}^{'} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{3} {j_{3}}^{'}} δ_{j_{6} {j_{6}}^{'}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{3} & j_{6} & j_{9} \end{matrix}}}{(2 j_{3} + 1) (2 j_{6} + 1)} .

Das trianguläre Delta ${\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \end{matrix}}$ ist wie bei 3j-Symbol definiert und drückt die Einhaltung der Dreiecksbedingung aus.

Literatur

Alan Robert Edmonds: Drehimpulse in der Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbücher 1964 (englisches Original Princeton UP 1957)
A. Messiah: Quantenmechanik, Band 2, De Gruyter 1985, Anhang C

Weblinks

Wigner 9j-Symbol, Mathworld

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Spezialfall

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