ω-konsistente Theorie

In der mathematischen Logik wird eine Theorie als ω-konsistent (oder omega-konsistent) bezeichnet, falls sie keine Existenzaussage beweisen kann, wenn sie alle konkreten Instanzen dieser Aussage widerlegen kann.

Definition

Sei T eine Theorie, die die Arithmetik interpretiert, das bedeutet, dass jeder natürlichen Zahl n ein Term der Sprache zugeordnet werden kann, der im Folgenden mit $\dot{n}$ bezeichnet werde. T heißt ω-konsistent, falls es keine Formel $\varphi (x)$ gibt, sodass sowohl  $\mathrm{\exists }x\varphi (x)$ als auch für jede natürliche Zahl n $\mathrm{\neg }\varphi (\dot{n})$ beweisbar ist. Formal:

$\text{T ist }\omega \text{-konsistent }\leftrightarrow \text{ Es gibt keine Formel }\varphi (x)\text{, so dass T}⊢\mathrm{\exists }x\varphi (x)\text{ und für jede natürliche Zahl n: T}⊢\mathrm{\neg }\varphi (\dot{n})$

Eine ω-konsistente Theorie ist automatisch konsistent, umgekehrt gibt es aber konsistente Theorien, die nicht ω-konsistent sind, s. Beispiel.

Beziehung zu anderen Konsistenzprinzipien

Ist eine Theorie T rekursiv axiomatisierbar, dann kann man nach einem Resultat von C. Smoryński die ω-Konsistenz wie folgt charakterisieren:

T ist ω-konsistent genau dann wenn $T+{\mathrm{R}\mathrm{F}\mathrm{N}}_T+{\mathrm{T}\mathrm{h}}_{{\mathrm{\Pi }}_2^0}(\mathbb{N})$ konsistent ist.

Hier bezeichnet ${\mathrm{T}\mathrm{h}}_{{\mathrm{\Pi }}_2^0}(\mathbb{N})$ die Menge aller Π⁰₂-Sätze, welche im Standardmodell der Arithmetik gültig sind. ${\mathrm{R}\mathrm{F}\mathrm{N}}_T$ ist das uniforme Reflexionsprinzip für T, welches aus den Axiomen

$\mathrm{\forall }x({\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}}_T(\phi (\dot{x}))\to \phi (x))$

für jede Formel $\phi$ mit einer freien Variable besteht.

Insbesondere ist eine endlich axiomatisierbare Theorie T in der Sprache der Arithmetik ω-konsistent genau dann wenn T+PA ${\mathrm{\Sigma }}_2^0$-korrekt ist.

Beispiel

Bezeichne PA die Theorie der Peano-Arithmetik und Con(PA) sei diejenige arithmetische Aussage, die die Behauptung PA ist konsistent formalisiert. Meist wird Con(PA) von folgender Gestalt sein:

Für jede natürliche Zahl n: n ist nicht die Gödelnummer eines Beweises von 0=1 in PA (d. h., es gibt keinen Beweis des Widerspruchs 0=1)

Auf Grund von Gödels Unvollständigkeitssatz wissen wir, dass, falls PA konsistent ist, auch PA+¬Con(PA) konsistent sein muss. PA+¬Con(PA) ist jedoch nicht ω-konsistent aus folgendem Grund: Für jede natürliche Zahl n beweist bereits PA, dass n nicht die Gödelnummer eines Beweises von 0=1 ist, also beweist PA+¬Con(PA) dies sicher auch. Jedoch beweist ¬Con(PA) auch, dass es eine natürliche Zahl m gibt, so dass m die Gödelnummer eines Beweises von 0=1 ist (die ist nämlich gerade die Aussage ¬Con(PA) selber).