Äquianharmonisch

In der Mathematik, spezifisch in der Lehre der elliptischen Funktionen, ist der äquianharmonische Fall ein Spezialfall der Weierstraßschen ℘-Funktion, den man mit den Weierstrass-Invarianten $g_2=0$ und $g_3=1$ erhält.

Im äquianharmonischen Fall ist die kleinere halbe Periode ${\omega }_2$ reell und gleich

$\frac{{\mathrm{\Gamma }}^3(1/3)}{4\pi }$,

wobei $\mathrm{\Gamma }$ die Gammafunktion ist. Die größere halbe Periode ist

${\omega }_1=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}\mathrm{i}){\omega }_2.$

Damit ist das Periodengitter ein reelles Vielfache des Gitters der Eisenstein-Zahlen.

Die Konstanten $e_1=\mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_1}{2}\right),e_2=\mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_2}{2}\right),e_3=\mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}\right)$ sind gegeben durch:

$e_1=4^{-1/3}{e}^{(2/3)\pi \mathrm{i}},e_2=4^{-1/3},e_3=4^{-1/3}{e}^{-(2/3)\pi \mathrm{i}}.$

Die Fälle $g_2=0,g_3=a$ können durch eine Skalierungs-Transformation bearbeitet werden.

Literatur

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Equianharmonic Case (g_2=0, g_3=1)." §18.13 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 652-653, 1972.

Weblinks

• Wolfram MathWorld: Equianharmonic Case