Ähnlichkeitsdifferentialgleichung

In der Mathematik ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung (auch homogene Differentialgleichung oder Euler-homogene Differentialgleichung) eine Differentialgleichung der Form

$x^{\prime }=f\left(\frac{x}{t}\right)$

für eine stetige Funktion $f$.

Ansatz

Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen $x^{\prime }=f\left(\frac{x}{t}\right)$ werden mit der Transformation $u=\frac{x}{t}$ in die Differentialgleichung

$u^{\prime }=\frac{1}{t}(f(u)-u)$

überführt, die mit der Methode der Trennung der Variablen gelöst werden kann.

Beispiele

1. Die Differentialgleichung $x^{\prime }=1+\frac{x}{t}$ wird mit der Transformation $u=\frac{x}{t}$ in die Differentialgleichung $u^{\prime }=\frac{1}{t}$ mit den Lösungen $u(t)=\ln (t)+C$ überführt. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind also von der Form $x(t)=t\cdot \ln (t)+Ct$ mit einer Konstanten $C$.
2. Die Differentialgleichung $x^{\prime }=\frac{x}{t}-\frac{x^2}{t^2}$ wird mit der Transformation $u=\frac{x}{t}$ in die Differentialgleichung $u^{\prime }=-\frac{u^2}{t}$ mit den Lösungen $u(t)=\frac{1}{\ln |t|+C}$ überführt. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind also von der Form $x(t)=\frac{t}{\ln |t|+C}$ mit einer Konstanten $C$.
3. Die Differentialgleichung $x^{\prime }=\frac{x^2+t^2}{tx}$ ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung, weil sie in der Form $x^{\prime }=\frac{x}{t}+{\left(\frac{x}{t}\right)}^{-1}$ geschrieben werden kann. Mit $u=\frac{x}{t}$ erhält man die Differentialgleichung $u^{\prime }=\frac{1}{ut}$ mit den Lösungen $u(t)=\pm \sqrt{2\ln |t|+C}$, also $x(t)=\pm t\sqrt{2\ln |t|+C}$ mit einer Konstanten $C$.
4. Gesucht ist eine Kurve in der $x-y-$Ebene, so dass für jeden Punkt auf der Kurve seine Entfernung vom Ursprung gleich der $y-$Koordinate des Schnittpunkts seiner Tangente mit der $y-$Achse ist. Dies führt auf die Differentialgleichung $y-x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x^2+y^2}$, die zur Ähnlichkeitsdifferentialgleichung $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\sqrt{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}$ äquivalent ist. Mit $t=x,u=\frac{y}{x}$ erhält man die Differentialgleichung $u^{\prime }=-\frac{1+u^2}{t}$, deren Lösungen von der Form $u(t)=\sinh (-\ln |t|+C)$ sind. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind mit $D=e^C$ also von der Form $y(x)=\frac{1}{2D}-\frac{D{x}^2}{2}$ mit einer positiven Konstanten $D$.

Weblinks

• Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen (Mathepedia)
• Homogeneous differential equations (Math is Fun)
• First-order homogeneous equation (CliffsNotes)