Ordnung eines Gruppenelementes

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements $g$ einer Gruppe $(G,\cdot )$ die kleinste natürliche Zahl $n>0$, für die $g^n=e$ gilt, wobei $e$ das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, $g$ habe unendliche Ordnung. In Formeln:

$\mathrm{Ord}(g)=\inf \{n\in {\mathbb{N}}^{+}:g^n=e\}$

mit der Konvention $\inf (\mathrm{\varnothing })=+\mathrm{\infty }$. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit $\mathrm{ord}(g)$ oder $\mathrm{o}(g)$ bezeichnet.

Die Potenz $g^n$ eines Gruppenelementes $g$ ist dabei für natürliche Exponenten $n\ge 0$ induktiv definiert:

• $g^0:=e$
• $g^{k+1}:=g^k\cdot g$ für alle natürlichen $k\ge 0$

Die Zahl $\exp (G):=\mathrm{kgV}\{\mathrm{ord}(g)|g\in G\}$ wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.

Eigenschaften

• Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, und diese ist ein Teiler der Gruppenordnung, d. h. der Anzahl der Elemente der Gruppe.
• Umgekehrt existiert in einer endlichen Gruppe nach dem Satz von Cauchy zu jedem Primteiler $p$ der Gruppenordnung ein Element, das die Ordnung $p$ hat. Für zusammengesetzte Teiler ist keine allgemeine Aussage möglich (während zum trivialen Teiler 1 das neutrale Element $e=e^1$ gehört).
• Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
• Es gilt $g^d=e$ genau dann, wenn $d$ ein Vielfaches der Ordnung $\mathrm{ord}(g)$ des Elements $g$ ist.
• Für jedes $g\in G$, welches nicht das neutrale Element $e$ ist, gilt: $g$ hat genau dann Ordnung 2, wenn es sein eigenes Inverses ist.
• In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes $g\cdot h$ ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von $g$ und $h$. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ der Gruppe SL₂(Z) unendliche Ordnung, obwohl es das Produkt der Elemente $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ mit der Ordnung 4 und $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$ mit der Ordnung 6 ist.

Literatur

• J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.