Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren oder Substitutionsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen. In der Schulmathematik wird es neben dem Gleichsetzungsverfahren und dem Additionsverfahren standardmäßig zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen eingesetzt.[1]
Die Idee beim Einsetzungsverfahren besteht darin, eine der Gleichungen nach einer Variablen aufzulösen und den so erhaltenen Term in die anderen Gleichungen einzusetzen.[2] Dadurch wird die entsprechende Variable „eliminiert“. Manchmal kann man auf diese Art schrittweise alle Variablen bis auf eine eliminieren (insbesondere bei linearen Gleichungssystemen), so dass nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrigbleibt. Lässt sich diese auflösen, so kann man dann von unten alle Variablen einsetzen (Rücksubstitution), um alle Lösungen des Gleichungssystems zu finden.
Lineares 2x2-Gleichungssystem
Bei einem linearen Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht man so vor:
- Schritt 1: Auflösung einer der beiden Gleichungen nach einer Variablen
- Schritt 2: Einsetzen des in Schritt 1 erhaltenen Terms in die andere Gleichung
- Schritt 3: Auflösen der im Schritt 2 erhaltenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen
- Schritt 4: Einsetzen der Lösung in die nach Schritt 1 umgeformte Gleichung
Beispiel
Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
Schritt 1:
Eine der beiden Gleichungen wird nach oder aufgelöst. In diesem Beispiel wird die 2. Gleichung nach aufgelöst und man erhält
- .
Schritt 2:
Danach lässt sich in Gleichung die Variable durch den Term ersetzen:
- .
Schritt 3:
Diese Gleichung kann man nun nach auflösen und erhält .
Schritt 4:
Die Lösung wird in die umgestellte Gleichung eingesetzt:
Die Lösungsmenge ist somit .