Embree-Trefethen-Konstante

Die Embree-Trefethen-Konstante ist eine mathematische Konstante, die nach den Mathematikern Mark Embree und Lloyd Nicholas Trefethen benannt wurde. Sie ist ein Grenzkoeffizient in der Zahlentheorie und wird mit ${\beta }^{*}$ bezeichnet.

Für ein festes reelles $\beta >0$ betrachte man die Rekursion

$x_{n+1}=x_n\pm \beta x_{n-1},$

wobei für das Rechenzeichen auf der rechten Seite unabhängig für jedes $n$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit $+$ oder $-$ gewählt wird.

Für $\beta =1$ erhält man die zufällige Fibonacci-Folge.

Der Grenzwert

$\sigma (\beta ):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|x_n{|}^{\frac{1}{n}}$

existiert für jede Wahl von $\beta$ fast sicher. Mit anderen Worten: Die Folge verhält sich mit Wahrscheinlichkeit 1 asymptotisch exponentiell mit Basis $\sigma (\beta )$.

Es gilt

$\sigma <1$ für $0<\beta <{\beta }^{*}\approx 0,70258,$

also fällt die Folge der $x_n$ dann fast sicher asymptotisch exponentiell, und

$\sigma >1$ für $\beta >{\beta }^{*},$

also wachsen diesfalls die Folgenglieder fast sicher asymptotisch exponentiell.

Spezielle Werte von $\sigma$ sind:

• $\sigma (1)=1,1319882487943\dots$ (Viswanath-Konstante) und (nach Definition)
• $\sigma ({\beta }^{*})=1$.

Literatur

• Mark Embree, Lloyd Nicholas Trefethen: Growth and Decay of Random Fibonacci Sequences. (PDF; 381 kB). In: Proceedings of the Royal Society. A 455, Juli 1999, S. 2471–2485 (englisch).
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