Generischer Punkt

Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

Definition

Ein Punkt $\eta$ eines topologischen Raumes $X$ heißt generisch, wenn $X$ der Abschluss der Teilmenge $\{\eta \}$ ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass $\eta$ in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.

Eigenschaften

• Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
• Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T₀, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
• In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
• Ist $x$ ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes $X$, so ist der Abschluss von $\{x\}$ in $X$ eine irreduzible Teilmenge $Y$ von $X$, und $x$ ist ein generischer Punkt von $Y$.

Beispiel aus der algebraischen Geometrie

Ist $A$ ein Integritätsring, so ist das Nullideal $\{0\}$ der (einzige) generische Punkt des Spektrums $\mathrm{Spec}A$; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von $A$.

Bedeutung für die algebraische Geometrie

Ist $X$ ein irreduzibles Schema und $\eta$ sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von $X$ äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für $\eta$. Ist beispielsweise $M$ eine kohärente Garbe auf $X$, so ist $M_{\eta }=0$ äquivalent zu $M_x=0$ für alle $x$ in einer geeigneten offenen Teilmenge von $X$.

Verwandte Begriffe

Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 87). Vieweg, Braunschweig u. a. 1997, ISBN 3-528-07287-3, S. 69–70.