Atkinson-Maß

Mit Atkinson-Maß (nach Anthony Atkinson [1944–2017]) werden eine Menge von Ungleichverteilungsmaßen bezeichnet, mit denen beispielsweise die Einkommens- oder Vermögensungleichheit in einer Gesellschaft berechnet werden kann.

Ursprung/Geschichte

Der von Hugh Dalton eingeführte Dalton-Index $D$ ist nicht invariant gegenüber positiven linearen Transformationen der persönlichen Einkommenswohlfahrtsfunktionen.

Atkinson hat 1970 versucht, den Index so neu zu definieren, dass er die entsprechende Invarianz aufweist.

Definition

Jedem Atkinson-Maß liegt eine konkave Nutzenfunktion zugrunde. Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert, wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt.

Üblicherweise wird eine Arrow-Wohlfahrtsfunktion verwendet, die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter $\epsilon$ festlegt, wie groß der Wohlfahrtsunterschied eines zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Ist $\epsilon =0$ bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.

Dieser Atkinson-Index ist wie folgt definiert:

$A=A_{\epsilon }=A_{\epsilon }(y_1,\dots ,y_n)=\{\begin{array}{cc}1& \text{für}\epsilon =0\\ 1-\frac{1}{\mu }{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i^{1-\epsilon }\right)}^{1/(1-\epsilon )}& \text{für}\epsilon >0\wedge \epsilon \ne 1\\ 1-\frac{1}{\mu }{\left(\prod _{i=1}^n{y}_i\right)}^{1/n}& \text{für}\epsilon =1,\end{array}$

wobei $y_i$ das individuelle Einkommen (i = 1, 2, …, N) und $\mu$ das Durchschnittseinkommen ist.

Eigenschaften

Der Atkinson-Index hat folgende Eigenschaften:

1. Symmetrie in den Argumenten: $A_{\epsilon }(y_1,\dots ,y_N)=A_{\epsilon }(y_{\sigma (1)},\dots ,y_{\sigma (N)})$ für alle Permutationen $\sigma$.
2. Der Index liegt zwischen Null und Eins. $0\le A_1\le 1$ und $0\le A_{\epsilon }\le 1-n^{-ϵ}<1$ für alle $\epsilon \ne 1$
3. Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null: $A_{\epsilon }(y_1,\dots ,y_N)=0$ gdw. $y_i=\mu$ für alle $i$.
4. Invarianz gegenüber Vervielfachung: Wird die Population (mehrfach) identisch repliziert, bleibt der Index gleich: $A_{\epsilon }(\{y_1,\dots ,y_N\},\dots ,\{y_1,\dots ,y_N\})=A_{\epsilon }(y_1,\dots ,y_N)$
5. Invarianz gegenüber Inflation: Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert, bleibt der Index gleich: $A_{\epsilon }(y_1,\dots ,y_N)=A_{\epsilon }(k{y}_1,\dots ,k{y}_N)$ für alle $k>0$
6. Der Index lässt sich in Untergruppen zerlegen. Es gilt

$A_{\epsilon }(y_{g,i_g}:i_g=1,\dots ,n_g;g=1,\dots ,G)=\sum _{g=1}^G{w}_g{A}_{\epsilon }(y_{g,1},\dots ,y_{g,n_g})+A_{\epsilon }({\mu }_1,\dots ,{\mu }_G)$, wobei $G$ die Anzahl der Untergruppen angibt, ${\mu }_g$ das Durchschnittseinkommen der Untergruppe $g$, und die Gewichte $w_g=f({\mu }_g,\mu ,N,N_g)$ für eine von der konkreten Situation unabhängige Funktion f.

Anwendung

Für den sich aus der „verallgemeinerten Entropie-Klasse“ mit $\epsilon =1$ ergebenden Theil-Index $I_1$ gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter Theil-Index“ auftrat. Das Maß errechnet sich aus der Funktion $1-e^{-T}$.

Siehe auch

• Champernowne-Index

Literatur

Originalaufsatz:

• Anthony B. Atkinson: On the Measurement of Inequality. In: Journal of Economic Theory. Bd. 2 (3), 1970. S. 244–263.

Zur Vertiefung:

• Yoram Amiel: Thinking about inequality. Cambridge 1999.
• Frank Alan Cowell: Measurement of Inequality. In: Anthony B. Atkinson, François Bourguignon (Hg.): Handbook of Income Distribution. Bd. 1, Amsterdam et al. 2000. S. 87–166.
• Amartya Sen, James Eric Foster: On Economic Inequality. Oxford University Press, Oxford 1996. ISBN 0-19-828193-5. (Python script mit wichtigen Formeln aus dem Buch, darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson-Indexes)

Weblinks

• Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/Indira Gandhi National Open University): Vorlage:Webarchiv