Lemma von Fatou

Namensgeber Pierre Fatou

Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.

Mathematische Formulierung

Sei $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$ ein Maßraum. Für jede Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_n:S\to ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ gilt

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu ,$

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ punktweise zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion $g$ mit $f_n\le g$ gibt:

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_n\mathrm{d}\mu \ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu$.

Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{S}{\int }g\mathrm{d}\mu .$

Beweisidee

Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die monoton wachsende Funktionenfolge

$g_n:=\underset{k\ge n}{\inf }{f}_k\nearrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n$

den Satz von der monotonen Konvergenz an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung

$\underset{S}{\int }\left(\underset{k\ge n}{\inf }{f}_k\right)\le \underset{S}{\int }{f}_n$

erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }\left(\underset{k\ge n}{\inf }{f}_k\right)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_n$.

Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist $g_1=\underset{k\ge 1}{\sup }{f}_k\le g$ mit $g$ integrierbar, also ist $g_1$ integrierbar.

Beispiele für strikte Ungleichung

Der Grundraum $S$ sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

• Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei $S=[0,1]$ das Einheitsintervall. Definiere $f_n(x)=n{\mathrm{𝟏}}_{(0,\frac{1}{n})}(x)$ für alle $n\in \mathbb{N}$ und $x\in S$, wobei ${\mathrm{𝟏}}_{(0,\frac{1}{n})}$ die Indikatorfunktion des Intervalls $(0,\frac{1}{n})$ bezeichne.
• Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei $S$ die Menge der reellen Zahlen. Definiere $f_n(x)=\frac{1}{n}{\mathrm{𝟏}}_{[0,n]}(x)$ für alle $n\in \mathbb{N}$ und $x\in S$. (Beachte, dass es in diesem Beispiel keine integrierbare Majorante gibt und daher der sup-Teil des Lemmas von Fatou nicht anwendbar ist.)

Jedes $f_n$ hat Integral eins,

$\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu =1$

deshalb gilt

$1=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu$

Die Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert auf $S$ punktweise gegen die Nullfunktion

$0=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_n,$

daher ist das Integral ebenfalls Null

$0=\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\mathrm{d}\mu =\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_n\mathrm{d}\mu ,$

daher gelten hier die strikten Ungleichungen

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\mathrm{d}\mu <\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu ,$

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_n\mathrm{d}\mu <\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu$

Diskussion der Voraussetzungen

Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei $S$ das halboffene Intervall $[0,\mathrm{\infty })$ mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle $n\in \mathbb{N}$ definiere $f_n(x):=-\frac{1}{n}{1}_{[0,n]}(x)$. Die Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert auf $S$ (sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes $f_n$ hat aber Integral −1. Daher ist

$0=\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n\mathrm{d}\mu >\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu =-1$.

Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Satz von der monotonen Konvergenz

Literatur

• Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis. (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2. Auflage. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
• Walter Rudin: Analysis. Deutsche Ausgabe neu bearbeitet von Norbert Herrmann. 2., korrigierte Auflage. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-25810-9, S. 376: Kapitel 11, Satz 11.31.