Fundamentalpolygon

In der Mathematik kann jede im topologischen Sinn geschlossene Fläche erzeugt werden, indem man die Seiten eines Polygons mit gerader Seitenanzahl paarweise identifiziert. Dieses Polygon nennt man Fundamentalpolygon.

Fundamentalpolygon der Sphäre: aa⁻¹

Fundamentalpolygon der Projektiven Ebene: aa

Fundamentalpolygon des Torus: aba⁻¹b⁻¹

Fundamentalpolygon der Kleinschen Flasche: aba⁻¹b

Diese Polygone kann man durch eine Zeichenkette beschreiben, die jeder Seite ein Symbol zuordnet. Seiten, die miteinander identifiziert werden erhalten dabei das gleiche Symbol. Ein zusätzlicher Exponent 1 oder −1 gibt die Orientierung der Seite an.

Kanonische Form für kompakte Flächen (ohne Rand)

Gemäß dem Klassifikationssatz kann man Flächen in drei Äquivalenzklassen einteilen. Jeder dieser Klassen lässt sich eine kanonische Form der Fundamentalpolygone zuordnen:

• einer Sphäre

  $a{a}^{-1}$

• einer orientierbaren Fläche vom Geschlecht $n$

  $a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}{a}_2{b}_2{a}_2^{-1}{b}_2^{-1}\dots a_n{b}_n{a}_n^{-1}{b}_n^{-1}$

• einer nichtorientierbaren Fläche vom Geschlecht $n$

  $a_1{a}_1{a}_2{a}_2\dots a_n{a}_n$

Kanonische Form für kompakte Flächen mit Rand

Flächen mit Rand unterscheiden sich von denen ohne dadurch, dass sie zusätzlich eine bestimmte Anzahl von Randkomponenten haben. Die kanonische Form erhält man, indem man die Fundamentalpolygone der unberandeten Flächen um eine entsprechende Zahl von Randkomponenten erweitert:

• eine Sphäre mit $k$ Randkomponenten $B_1,\dots ,B_k$

  $a{a}^{-1}{c}_1{B}_1{c}_1^{-1}\dots c_k{B}_k{c}_k^{-1}$

• eine orientierbare Fläche vom Geschlecht $n$ mit $k$ Randkomponenten $B_1,\dots ,B_k$

  $a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}\dots a_n{b}_n{a}_n^{-1}{b}_n^{-1}{c}_1{B}_1{c}_1^{-1}\dots c_k{B}_k{c}_k^{-1}$

• eine nichtorientierbare Fläche vom Geschlecht $n$ mit $k$ Randkomponenten $B_1,\dots ,B_k$

  $a_1{a}_1\dots a_n{a}_n{c}_1{B}_1{c}_1^{-1}\dots c_k{B}_k{c}_k^{-1}$

Literatur

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra: Riemann Surfaces. Springer, New York 1980, ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost: Compact Riemann Surfaces. Springer, New York 2002, ISBN 3-540-43299-X.
• William S. Massey: Algebraic Topology: An Introduction. 1. Auflage. Springer, Berlin 1967, ISBN 3540902716