Bonferroni-Korrektur

Die Bonferroni-Korrektur ist ein Verfahren der mathematischen Statistik zur Adjustierung der Signifikanzniveaus der Einzeltests bei multiplen Testen, um der Alphafehler-Kumulierung entgegenzuwirken und für die Durchschnittshypothese ein vorgegebenes Signifikanzniveau einzuhalten. Die Adjustierung vermindert die Signifikanzniveaus der Einzeltests und damit tendenziell die Anzahl der Ablehnungen richtiger Nullhypothesen (falsch-positiver Befunde in biometrischer Terminologie), so dass die verbleibenden Ablehnungen von Nullhypothesen mit einer höheren statistischen Signifikanz verbunden sind. Die Bonferroni-Methode (nach Carlo Emilio Bonferroni) umfasst neben der Bonferroni-Korrektur ein ähnliches Vorgehen zur Anpassung der Konfidenzniveaus bei der Konstruktion simultaner Konfidenzintervalle für einen mehrdimensionalen Parametervektor.

Adjustierte Signifikanzniveaus

Zu $k\ge 2$ statistischen Tests mit den Nullhypothesen $H_1,\dots ,H_k$ kann die Durchschnittshypothese $H_0=\underset{j=1}{\overset{k}{\cap }}{H}_j$ gebildet werden. Die Hypothesen $H_1,\dots ,H_k$ heißen in diesem Zusammenhang Elementarhypothesen und $H_0$ heißt Globalhypothese. Ein Test für die Nullhypothese $H_0$ kann auf den Tests für die einzelnen Elementarhypothesen aufgebaut werden, da die Nullhypothese $H_0$ genau dann falsch ist, wenn mindestens eine der Elementarhypothesen falsch ist. Eine mögliche Testprozedur besteht also darin, $H_0$ genau dann abzulehnen, wenn mindestens eine der Hypothesen $H_1,\dots ,H_k$ abgelehnt wird. Ein vorgegebenes globales Signifikanzniveau ${\alpha }_{\text{global}}\in (0,1)$ für den Test von $H_0$ kann im Allgemeinen nicht eingehalten werden, wenn dieses als Signifikanzniveau für jeden der Einzeltests verwendet wird, da es dann zur so genannten Alphafehler-Kumulierung kommen kann.

Um das gewünschte globale Signifikanzniveau ${\alpha }_{\text{global}}\in (0,1)$ für den Test der Globalhypothese $H_0$ einzuhalten, besteht die Bonferroni-Korrektur darin, für die einzelnen Tests das lokale Signifikanzniveau

${\alpha }_{\text{lokal}}=\frac{{\alpha }_{\text{global}}}{k}$

vorzugeben. Die so angepassten Signifikanzniveaus

${\alpha }_j={\alpha }_{\text{lokal}}\text{für }j=1,\dots ,k$

für die Einzeltests werden auch adjustierte Signifikanzniveaus genannt. Die Verwendung der adjustierten Signifikanzniveaus führt dazu, das für den Test der Globalhypothese das Signifikanzniveau ${\alpha }_{\text{global}}$ gültig ist.

Adjustierte p-Werte

Bei einer klassischen Testdurchführung erfolgt die Ablehnung einer Nullhypothese, falls eine Teststatistik im Ablehnbereich (kritischen Bereich) liegt, der vom vorgegebenen Signifikanzniveau abhängt. Bei einer $p$-Wert-basierten Testdurchführung, die typisch für die Anwendung statistischer Software ist, wird ein berechneter $p$-Wert mit dem vorgegebenen Signifikanzniveau verglichen und die Nullhypothese wird abgelehnt, falls der $p$-Wert kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau ist.

Bei einer $p$-Wert-basierten Testdurchführung wird die Bonferroni-Korrektur durchgeführt, indem die $p$-Werte der Einzeltests mit den adjustierten Signifikanzniveaus verglichen werden, dabei wird die $j$-te Nullhypothese abgelehnt, falls $p_j<{\alpha }_{\text{lokal}}$ gilt.

Alternativ können adjustierte $p$-Werte

$p_j^{*}=p_j\cdot k,j=1,\dots ,k$

für die Einzeltests gebildet werden, die um den Faktor $k$ größer sind als die ursprünglichen $p$-Werte, und diese mit dem globalen Signifikanzniveau verglichen werden. Die $j$-te Nullhypothese wird abgelehnt, falls $p_j^{*}<{\alpha }_{\text{global}}$ gilt.

Beide Vorgehensweisen führen zu denselben Testentscheidungen, da die beiden Regeln $p_j<{\alpha }_{\text{lokal}}$ und $p_j^{*}<{\alpha }_{\text{global}}$ äquivalent sind.

Beispiel

Gegeben seien die p-Werte $p_1=0,01,p_2=0,04,p_3=0,1$ dreier Hypothesentests, die eine Hypothesenfamilie bilden. Unter Vernachlässigung der multiplen Testung und alleiniger Betrachtung lokaler Signifikanzniveaus ${\alpha }_{\text{lokal}}=0,05$ erfolgt die Ablehnung der Nullhypothesen 1 und 2, da $p_1<{\alpha }_{\text{lokal}}$ und $p_2<{\alpha }_{\text{lokal}}$, während die dritte Hypothese nicht abgelehnt wird, da $p_3>{\alpha }_{\text{lokal}}$. Berücksichtigt man jedoch die Bonferroni-Korrektur (mit ${\alpha }_{\text{global}}=0,05⟹{\alpha }_{\text{lokal}}={\alpha }_{\text{global}}/3\approx 0,0166$), so erfolgt nur noch die Ablehnung der Nullhypothese 1, da $p_1<{\alpha }_{\text{lokal}}$ und $p_2>{\alpha }_{\text{lokal}},p_3>{\alpha }_{\text{lokal}}$.

Theoretischer Hintergrund

Die Globalhypothese $H_0$ wird genau dann abgelehnt, wenn mindestens eine Elementarhypothesen abgelehnt wird. Das Ereignis $\{H_0\text{ wird abgelehnt}\}$ kann als Vereinigung der Ereignisse $\{H_j\text{ wird abgelehnt}\}$ für $j=1,\dots ,k$ dargestellt werden. Mit der ersten Bonferroni-Ungleichung, die auch Boolesche Ungleichung heißt, ergibt sich die Ungleichung

$P(H_0\text{ wird abgelehnt})=P(\bigcup _{j=1}^k\{H_j\text{ wird abgelehnt}\})\le \sum _{j=1}^{k}P(H_j\text{ wird abgelehnt}).$

Betrachtet man den Fall, dass $H_0$ richtig ist, und damit auch die Hypothesen $H_1,\dots ,H_k$ richtig sind, und beschränkt für diesen Fall die Wahrscheinlichkeiten $P(H_j\text{ wird abgelehnt})$, die dann Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. Art sind, jeweils durch das lokale Signifikanzniveau ${\alpha }_{\text{lokal}}={\alpha }_{\text{global}}/k$ nach oben, so ist $P(H_0\text{ wird abgelehnt})$ durch

$\sum _{j=1}^{k}P(H_j\text{ wird abgelehnt})\le \sum _{j=1}^k{\alpha }_{\text{lokal}}=\sum _{j=1}^k\frac{{\alpha }_{\text{global}}}{k}={\alpha }_{\text{global}}$

nach oben beschränkt.

Die Bonferroni-Korrektur kann sehr konservativ sein. Deshalb wurden genauere Methoden entwickelt, die den $\alpha$-Fehler weniger konservativ kontrollieren und das Signifikanzniveau der multiplen Testprozedur weiter ausschöpfen (siehe Alphafehler-Kumulierung). Im Vergleich zur allgemein anwendbaren Bonferroni-Methode ergibt sich, allerdings nur unter einschränkenden Voraussetzungen, mit der Šidák-Korrektur ein verbessertes Verfahren.

Literatur

• Vorlage:Literatur

Weblinks

• Manitoba Centre for Health Policy (MCHP) 2003, Concept: Multiple Comparisons.
• Perneger, Thomas V, What's wrong with Bonferroni adjustments, BMJ 1998;316:1236-1238 (18. April).
• School of Psychology, University of New England, New South Wales, Australia, 2000.
• Vorlage:MathWorld