Potenzmenge

Die Potenzmenge von {x, y, z}, dargestellt als Hasse-Diagramm.

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

Man notiert die Potenzmenge einer Menge $X$ meist als $𝒫(X)$. Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.

Definition

Die Potenzmenge $𝒫(X)$ einer Menge $X$ ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen $U$ von $X$ besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge

$𝒫(X):=\{U\mid U\subseteq X\}$.

Dabei ist zu beachten, dass auch die leere Menge $\mathrm{\varnothing }$ und die Menge $X$ Teilmengen von $X$ sind, also Elemente der Potenzmenge $𝒫(X)$. Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind $𝔭(X),2^X,\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{t}(X),\mathrm{\Pi }(X),\mathrm{\wp }(X)$ und $𝔓(X)$.

Beispiele

• $𝒫(\mathrm{\varnothing })=\{\mathrm{\varnothing }\}$
• $𝒫(\{a\})=\{\mathrm{\varnothing },\{a\}\}$
• $𝒫(\{a,b\})=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$
• $𝒫(\{a,b,c\})=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$
• $𝒫(𝒫(\mathrm{\varnothing }))=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$
• $𝒫(𝒫(\{a\}))=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\{a\}\},\{\mathrm{\varnothing },\{a\}\}\}$

Strukturen auf der Potenzmenge

Partielle Ordnung

Die Inklusionsrelation $\subseteq$ ist eine Halbordnung auf $𝒫(X)$ (und keine Totalordnung, wenn $X$ mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist $\mathrm{\varnothing }$, das größte Element ist $X$.

Vollständiger Verband

Die Halbordnung $(𝒫(X),\subseteq )$ ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von $𝒫(X)$ ein Infimum und ein Supremum (in $𝒫(X)$) gibt. Konkret ist für eine Menge $T\subseteq 𝒫(X)$ das Infimum von $T$ gleich dem Durchschnitt der Elemente von $T$, und das Supremum von $T$ ist gleich der Vereinigung der Elemente von $T$, also

$\inf (T)=\bigcap _{M\in T}M\text{ und }\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(T)=\bigcup _{M\in T}M.$

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

$\inf (\mathrm{\varnothing })=X\text{ und }\sup (\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }.$

Boolescher Verband

Zieht man noch die Komplementabbildung ${}^{\mathrm{c}}:𝒫(X)\to 𝒫(X)$ heran, ist $(𝒫(X),\cap ,\cup {,}^{\mathrm{c}},\mathrm{\varnothing },X)$ ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer Ring

Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf $𝒫(X)$ ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und $X$ ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische Funktionen

Jeder Teilmenge $T\subseteq X$ kann man die charakteristische Funktion ${\chi }_T:X\to \{0,1\}$ zuordnen, wobei gilt

${\chi }_T(x):=\{\begin{array}{cc}1,& x\in T\\ 0,& x\in ̸T\end{array}$

Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen $𝒫(X)$ und $\{0,1{\}}^X$ (wobei die Notation $B^A$ für die Menge aller Funktionen von $A$ nach $B$ benutzt wird). Dies motiviert für $𝒫(X)$ auch die Schreibweise $2^X$, denn in von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist $2=\{0,1\}$ (allgemein: $n=\{0,...,n-1\}$).

Die Korrespondenz $𝒫(X)\cong \{0,1{\}}^X$ ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Vorlage:Anker Die Größe der Potenzmenge (Kardinalität)

$|M|$ bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge $M$.

• Für endliche Mengen $X$ gilt: $|𝒫(X)|=2^{|X|}$.
• Stets gilt der Satz von Cantor: $|X|<|𝒫(X)|$.

Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch $2^{|X|}$ für die Mächtigkeit $|𝒫(X)|=\left|2^X\right|$ der Potenzmenge einer unendlichen Menge $X$. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen $X$, dass $|𝒫(X)|$ die nach $|X|$ nächstgrößere Mächtigkeit ist: $\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{H}⟹(|X|<|Y|⟹|𝒫(X)|\le |Y|).$

Beschränkung auf kleinere Teilmengen

Mit ${𝒫}_{\kappa }(X)=\{U\subseteq X:|U|<\kappa \}$ wird von manchen Autoren die Menge derjenigen Teilmengen von $X$ bezeichnet, die weniger als $\kappa$ Elemente enthalten. Beispielsweise wäre dann ${𝒫}_3(\{a,b,c\})=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}$: Die Menge $\{a,b,c\}$ selbst fehlt, da sie nicht weniger als $3$ Elemente hat. Andere Autoren verstehen unter ${𝒫}_{\kappa }(X)$ jedoch auch die Menge der Teilmengen von $X$, die genau die Mächtigkeit $\kappa$ haben. In diesem Fall wäre ${𝒫}_3(\{a,b,c\})=\{\{a,b,c\}\}$. Für letztere Variante ist auch die Schreibweise $(\genfrac{}{}{0ex}{}{X}{\kappa })$ gebräuchlich.

Potenzklasse

Der Begriff der Potenzmenge lässt sich auf Klassen erweitern, wobei zu beachten ist, dass echte Klassen nicht auf der linken Seite der Enthaltenseins-Relation $\in$ stehen können. Die Potenz (Potenzklasse) einer Klasse K ist gegeben durch die Klasse aller Mengen, deren Elemente alle in K enthalten sind. Die Elemente der Potenzklasse von K sind also die Teilmengen von K. Die Potenz einer echten Klasse K ist wieder eine echte Klasse, denn sie enthält die Einermengen {x} zu allen Elementen x von K. Sie enthält immer die Leermenge ∅, aber nicht die echte Klasse K selbst.

Ist $𝒰$ die Allklasse, gilt mit diesen Begrifflichkeiten ganz offenbar $𝒫(𝒰)\subseteq 𝒰$, und das Prinzip der Epsilon-Induktion lässt sich kompakt darstellen als die Forderung, dass $𝒰$ die einzige Klasse mit dieser Eigenschaft ist: Ist $A$ eine beliebige Klasse, gilt

$𝒫(A)\subseteq A⟹𝒰\subseteq A$.

Sonstiges

• Die Existenz der Potenzmenge zu jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.
• Ein Mengensystem wie beispielsweise eine Topologie oder eine σ-Algebra über einer Grundmenge $X$ ist eine Teilmenge der Potenzmenge $𝒫(X)$, also ein Element von $𝒫(𝒫(X))$.

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.