Universelle einhüllende Algebra

Die universelle einhüllende Algebra (auch universelle Einhüllende) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der Lie-Algebren. Sie ist eine assoziative Algebra, die zeigt, dass man die Lie-Klammer stets als Kommutator auffassen kann, auch bei Lie-Algebren, die nicht von einer assoziativen Algebra herkommen.

Definition

Es sei $𝔤$ eine Lie-Algebra (über einem Körper). Eine universelle einhüllende Algebra $\mathrm{U}(𝔤)$ von $𝔤$ besteht aus einer unitären assoziativen Algebra und einem Liealgebrenhomomorphismus $𝔤\to \mathrm{U}(𝔤)$ (dabei sei die Liealgebrastruktur auf assoziativen Algebren durch den Kommutator gegeben), so dass gilt:

Ist $A$ eine unitäre assoziative Algebra, so stehen die Liealgebrahomomorphismen $𝔤\to A$ in Bijektion mit den unitären Algebrenhomomorphismen $\mathrm{U}(𝔤)\to A$. Diese Bijektion wird durch den Homomorphismus $𝔤\to \mathrm{U}(𝔤)$ vermittelt.

Eigenschaften

• Die wichtigste Aussage über universelle einhüllende Algebren ist der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt (nach Henri Poincaré, Garrett Birkhoff und Ernst Witt; auch als PBW abgekürzt): Ist $X_1,\dots ,X_n$ eine Basis von $𝔤$ und $i:𝔤\to \mathrm{U}(𝔤)$ die kanonische Abbildung, so bilden die Monome

$i(X_{i_1})i(X_{i_2})\cdots i(X_{i_k})$ mit $i_1\le i_2\le \dots \le i_k$

eine Basis von $\mathrm{U}(𝔤)$.

• Insbesondere ist $i$ injektiv, und jede Lie-Algebra ist Unteralgebra einer assoziativen Algebra.
• Moduln unter einer Lie-Algebra sind dasselbe wie Moduln unter ihrer universellen einhüllenden Algebra.

Konstruktion

Man kann die universelle Einhüllende explizit angeben als Quotienten der Tensoralgebra $\mathrm{T}𝔤$ nach dem zweiseitigen Ideal, das von Elementen der Form

$X\otimes Y-Y\otimes X-[X,Y]$

für $X,Y\in 𝔤$ erzeugt wird. Man beachte: Im Unterschied zu den entsprechenden Konstruktionen der äußeren Algebra oder symmetrischen Algebra ist dieses Ideal nicht homogen, $\mathrm{U}(𝔤)$ trägt also keine induzierte Graduierung.

Beispiele

• Ist $𝔤$ abelsch, so ist die universelle einhüllende Algebra isomorph zur symmetrischen Algebra über $𝔤$.