Lemma von Yoneda

Das Lemma von Yoneda, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen.

Motivation

Es sei $𝐒𝐞𝐭$ die Kategorie der Mengen (mit den üblichen Funktionen als Morphismen). Es sei $𝒞$ eine lokal kleine Kategorie, so dass zu je zwei Objekten $X,Y\in 𝒞$ die Morphismen zwischen $X$ und $Y$ eine Menge und somit ein Objekt in $𝐒𝐞𝐭$ bilden. Für jedes Objekt $X$ der Kategorie $𝒞$ hat man den partiellen Hom-Funktor $H^X:𝒞\to 𝐒𝐞𝐭$, der für Objekte $Y\in \text{Ob}(𝒞)$ und Morphismen $(f:Y\to Z)\in \text{Mor}(𝒞)$ wie folgt definiert ist:

• $H^X(Y):={\text{Hom}}_{𝒞}(X,Y)$, wobei ${\text{Hom}}_{𝒞}(X,Y)$ eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für ${\text{Mor}}_{𝒞}(X,Y)$ ist.
• $H^X(f):H^X(Y)\to H^X(Z),g\mapsto f\circ g$.

Sei nun $T$ ein weiterer Funktor von $𝒞$ nach $𝐒𝐞𝐭$. Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren $H^X$ und $T$ bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort.

Aussage

Sind $T:𝒞\to \text{Set}$ ein Funktor und $X$ ein Objekt aus $𝒞$, so ist $\eta \mapsto {\eta }_X({\text{id}}_X)$ eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen $\eta :H^X\to T$ in die Menge $T(X)$.

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation $\eta :H^X\to T$ definitionsgemäß jedem Objekt $Y$ aus $𝒞$ einen Morphismus ${\eta }_Y:H^X(Y)\to T(Y)$ zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus ${\eta }_X:H^X(X)\to T(X)$ in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich ${\eta }_X({\text{id}}_X)$ wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus $T(X)$. Daher ist die Abbildung $𝒴:\eta \mapsto {\eta }_X({\text{id}}_X)$ wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung oder den Yoneda-Isomorphismus.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist $\eta :H^X\to T$ eine natürliche Transformation, $Y$ ein Objekt aus $𝒞$ und $f\in H^X(Y)$, das heißt $f$ ist ein $𝒞$-Morphismus $X\to Y$, so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:

$\begin{array}{ccc}{H}^X(X)=\text{Hom}(X,X)& \stackrel{{\eta }_X}{⟶}& T(X)\\ {\downarrow }_{H^X(f)}& & {\downarrow }_{T(f)}\\ H^X(Y)=\text{Hom}(X,Y)& \stackrel{{\eta }_Y}{⟶}& T(Y)\end{array}$

Daraus ergibt sich ${\eta }_Y(f)={\eta }_Y(f\circ {\text{id}}_X)=({\eta }_Y\circ H^X(f))({\text{id}}_X)=(T(f)\circ {\eta }_X)({\text{id}}_X)=T(f)({\eta }_X({\text{id}}_X))$.

Daher ist ${\eta }_Y$ durch $T$ und ${\eta }_X({\text{id}}_X)$ bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich $w\in T(X)$, so definiere man für jedes Objekt $Y$ aus $𝒞$ die Abbildung ${\eta }_Y:H^X(Y)\to T(Y)$ durch ${\eta }_Y(f):=T(f)(w)$. Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation $\eta$ von $H^X$ nach $T$ definiert wird, die unter der Yoneda-Abbildung auf $w$ abgebildet wird.

Bemerkungen

• Insbesondere zeigt das Yoneda-Lemma, dass die natürlichen Transformationen zwischen Funktoren $H^X$ und $T$ eine Menge bilden, denn die Klasse der natürlichen Transformationen zwischen $H^X$ und $T$ steht in bijektiver Beziehung zu einer Menge, nämlich $T(X)$, und ist daher selbst eine.
• Abbildungen der oben vorgestellten Art ${\eta }_Y:H^X(Y)\to T(Y),{\eta }_Y(f):=T(f)(w)$ führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.
• Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen (angereicherte Kategorien), wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor $\text{Ab}\to \text{Set}$ hinterzuschalten.

Yoneda-Einbettung

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.

Ist $𝒞$ eine lokal kleine Kategorie, so bezeichne $[𝒞,\text{Set}]$ die Kategorie der Funktoren $H^X$ mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren $H^X$ und $H^Y$ nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit ${𝒞}^{op}$ die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor $H^{*}:{𝒞}^{op}\to [𝒞,\text{Set}]$ durch folgende Daten:

• $H^{*}(X):=H^X$, die Funktoren $H^X$ sind die Objekte in $[𝒞,\text{Set}]$.
• Für einen Morphismus $f:X\to Y$ sei $H^{*}(f):H^X\to H^Y$ definiert durch $H^{*}(f{)}_Z:H^X(Z)\to H^Y(Z),g\mapsto g\circ f$, wobei $Z\in \text{Ob}(𝒞)$. Dann ist $H^{*}(f)$ eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in $[𝒞,\text{Set}]$.

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor $H^{*}:{𝒞}^{op}\to [𝒞,\text{Set}]$ definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst $f$ „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

• Yoneda-Einbettung: Der Funktor $H^{*}:{𝒞}^{op}\to [𝒞,\text{Set}]$ ist eine volltreue Einbettung.

Vertauscht man die Rollen von $𝒞$ und ${𝒞}^{op}$, so erhält man eine volltreue Einbettung $𝒞\to [{𝒞}^{op},\text{Set}]$.

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

$H_{X,Y}^{*}:{\text{Mor}}_{{𝒞}^{op}}(X,Y)\to {\text{Mor}}_{[𝒞,\text{Set}]}(H^{*}X,H^{*}Y),f\mapsto H^{*}(f)$

bijektiv sind. Für $\eta \in {\text{Mor}}_{[𝒞,\text{Set}]}(H^{*}X,H^{*}Y)$, das heißt für eine natürliche Transformation $\eta :H^X\to H^Y$, ist $𝒴(\eta )\in H^Y(X)={\text{Hom}}_{𝒞}(Y,X)={\text{Hom}}_{{𝒞}^{op}}(X,Y)$, das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

${𝒴}_{X,Y}:{\text{Mor}}_{[𝒞,\text{Set}]}(H^{*}X,H^{*}Y)\to {\text{Mor}}_{{𝒞}^{op}}(X,Y),\eta \mapsto {\eta }_X({\text{id}}_X)$.

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle $f\in {\text{Mor}}_{{𝒞}^{op}}(X,Y)$ folgendes gilt: ${𝒴}_{X,Y}{H}_{X,Y}^{*}(f)={𝒴}_{X,Y}(H^{*}(f))=H^{*}(f{)}_X({\text{id}}_X)={\text{id}}_X\circ f=f$,

ist $H_{X,Y}^{*}={𝒴}_{X,Y}^{-1}$ und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist $H^{*}$ volltreu.

Um einzusehen, dass $H^{*}$ sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind $X$ und $Y$ zwei verschiedene Objekte aus $\text{Ob}({𝒞}^{op})$, so gilt ${\text{Hom}}_{𝒞}(X,X)\cap {\text{Hom}}_{𝒞}(Y,X)=\mathrm{\varnothing }$, weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt $H^X=H^Y$, das heißt $H^{*}(X)=H^{*}(Y)$. Daher ist $H^{*}$ auch eine Einbettung.

Literatur

• Horst Schubert: Kategorien (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 15–16). Springer, Berlin 1970 (2 Bde.).