Voigt-Profil

Verschiedene Voigt-Profile jeweils mit Halbwertsbreite 2. Spezialfälle sind die Lorentz-Kurve (blau) und die Gauß-Kurve (grün).

Unter dem Voigt-Profil oder auch der Voigtfunktion (nach Woldemar Voigt) versteht man die Faltung einer Gauß-Kurve $G(x)$ mit einer Lorentz-Kurve $L(x)$.

Mathematische Beschreibung

$V(x;\sigma ,\gamma )=(G*L)(x)=\int G(\tau )L(x-\tau )d\tau$

$G(x;\sigma )=\frac{e^{-x^2/(2{\sigma }^2)}}{\sigma \sqrt{2\pi }}$

$L(x;\gamma )=\frac{\gamma }{\pi (x^2+{\gamma }^2)}.$

$\sigma$ entspricht der Standardabweichung einer Gauß-Verteilung. In der Spektroskopie wird sie als Dopplerbreite bezeichnet. $\gamma$ ist die halbe Halbwertsbreite der Lorentzverteilung, in der Spektroskopie als Druckverbreitung bekannt. Das Voigt-Profil entsteht aus der Faltung des Gauß-Profils mit dem Lorentz-Profil. Das Voigt-Profil ist wie jeweils das Gauß- und Lorentz-Profil auf 1 normiert (Fläche unter den Profilen).

Numerische Darstellung

Für das Faltungsintegral $V(x)$ existiert keine analytische Lösung, doch kann es als Realteil der Faddeeva-Funktion $w(z)$ (skalierte komplexe Fehlerfunktion, Plasma-Dispersionsfunktion) ausgedrückt werden, für die hinreichend gute Näherungen verfügbar sind:

$V(x;\sigma ,\gamma )=\frac{\mathrm{Re}[w(z)]}{\sigma \sqrt{2\pi }}.$

$z$ ist hier definiert als

$z=\frac{x+i\gamma }{\sigma \sqrt{2}}.$

Die Breite des Voigt-Profils

Die Halbwertsbreite des Voigt-Profils lässt sich aus den Breiten der beteiligten Lorentz- und Gauß-Kurven bestimmen. Bekannt sind die Breiten des Gauß-Profils (fwhm: volle Breite bei halbem Maximum),

$f_{\mathrm{G}}=\sqrt{8\ln (2)}\sigma ,$

und des Lorentz-Profils,

$f_{\mathrm{L}}=2\gamma .$

Die Breite des Voigt-Profils $f_{\mathrm{V}}$ ist eine Funktion von $f_{\mathrm{G}}$ und $f_{\mathrm{L}}$.

Die einfachste Näherung ist die symmetrische Interpolationsformel

$f_{\mathrm{V}}\approx \sqrt{f_{\mathrm{G}}^2+f_{\mathrm{L}}^2},$

die jedoch $f_{\mathrm{V}}$ um bis zu 16 % unterschätzt.

Eine bessere Näherung ist nach Kielkopf

$f_{\mathrm{V}}\approx 0,5343f_{\mathrm{L}}+\sqrt{0,2169f_{\mathrm{L}}^2+f_{\mathrm{G}}^2}$

mit einer maximalen Abweichung von 0,023%.

Eigenschaften

Die Voigt-Funktion ist invariant gegenüber Faltung, d. h., die Faltung einer Voigt-Funktion mit einer weiteren Voigt-Funktion ergibt wieder eine Voigt-Funktion. Die Linienbreiten des Gauß- bzw. Lorentz-Anteils ergeben sich dabei zu:

$f_{\mathrm{G}}^2=\sum _i(f_{\mathrm{G}}^2{)}_i$

und

$f_{\mathrm{L}}=\sum _i(f_{\mathrm{L}}{)}_i$.

Näherung durch Pseudo-Voigt-Profil

Beim Vergleich zwischen Voigt-Profil (blau) und Pseudo-Voigt-Profil (magenta) sind kaum Unterschiede erkennbar.

Das Pseudo-Voigt-Profil (oder die Pseudo-Voigt-Funktion) ist eine Näherungsfunktion für das Voigt-Profil, bei der die Faltung durch eine Linearkombination aus Gauß- und Lorentzkurve ersetzt wird. Es wird traditionell zur Ausgleichsrechnung von Röntgendiffraktometrie-Profilen verwendet. Seit eine effiziente und sehr genaue Implementierung der eigentlichen Voigt-Funktion zur Verfügung steht, gibt es keinen guten Grund mehr für die Verwendung dieser Näherung.

Mathematische Definition:

$V_p(x)=\eta \cdot L(x)+(1-\eta )\cdot G(x)$   mit   $0<\eta <1$

$G(x)=\exp [-\ln (2)\cdot {\left(\frac{x-x_0}{w}\right)}^2]$

$L(x)=\frac{1}{1+(\frac{x-x_0}{w}{)}^2}$

Dabei ist $2w$ die Halbwertsbreite der Pseudo-Voigt-Funktion.

Beispiele

Bei einem großen Verhältnis zwischen Druck- und Dopplerverbreiterung $\gamma /\sigma \gg 1$ ist das Voigt-Profil mit dem Lorentz-Profil fast identisch. Nur unmittelbar an der Linienmitte tritt eine geringe Abrundung durch die Faltung mit der Gaußkurve auf. Liegt $\gamma /\sigma$ bei 1, wird der zentrale Teil der Linie durch das Gauß-Profil dominiert, man spricht dann vom Dopplerkern. Außen setzt sich jedoch das viel langsamer abfallende Lorentz-Profil durch, man bezeichnet diesen Bereich als Dämpfungsflügel. Im Falle $\gamma /\sigma \ll 1$ wird aus dem Voigt-Profil nahezu ein Gauß-Profil. Die logarithmische Darstellung (die Gaußkurve erscheint dann als Parabel) lässt jedoch erkennen, dass sehr weit von der Linienmitte entfernt immer noch das Lorentz-Profil hervortritt, allerdings dann auf sehr niedrigem Niveau.

Der Fall $\gamma /\sigma \gg 1$ entspricht durchwegs irdischen Bedingungen, denen etwa die Spektrallinien der in der Erdatmosphäre vorhandenen Moleküle unterworfen sind. Der Fall $\gamma /\sigma =1$ oder gar $\gamma /\sigma \ll 1$ setzt niedrige Drücke und hohe Temperaturen voraus, wie sie zumeist für Sternatmosphären charakteristisch sind.

Literatur

• Woldemar Voigt: Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums. Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Band 25, 1912, S. 603–620, (online).
• Z. Shippony, W. G. Read, A Highly Accurate Voigt Function Algorithm. In: Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Bd. 50, Nr. 6, 1993, Vorlage:ISSN, S. 635–645, Vorlage:Doi; Erratum: A Correction to a Highly Accurate Voigt Function Algorithm. ebenda Bd. 78, Nr. 2, 2003, S. 255, Vorlage:Doi.

Weblinks

• Numerische C-Bibliothek für komplexe Fehlerfunktionen von Steven G. Johnson und Joachim Wuttke, enthält eine Funktion voigt (x, sigma, gamma) mit ungefähr 13-stelliger Genauigkeit.