Nagel-Punkt

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Nagel-Punkt N

Der Nagel-Punkt, benannt nach dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich von Nagel (1803–1882), der 1835/36 die Existenz dieses Punktes aufzeigte, gehört zu den besonderen Punkten eines Dreiecks. Für ein gegebenes Dreieck ABC betrachtet man die Punkte D, E und F, in denen die Ankreise die Seiten des Dreiecks berühren. Verbindet man diese Berührpunkte mit den gegenüber liegenden Ecken des Dreiecks (also mit A, B bzw. C), so schneiden sich diese Verbindungsstrecken in einem Punkt N. Dieser wird als Nagel-Punkt des Dreiecks bezeichnet.

Eigenschaften

• Betrachtet man außer dem Nagel-Punkt N des Dreiecks ABC auch den Inkreismittelpunkt I und den Schwerpunkt S, dann liegen die Punkte N, S und I auf einer Geraden, der Nagel-Geraden, und es gilt $\overline{NS}:\overline{SI}=2:1$, wobei der Schwerpunkt S zwischen den Punkten N und I liegt. In dieser Eigenschaft weist die Nagel-Gerade eine Analogie zur eulerschen Geraden auf.
• Der Spieker-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Inkreismittelpunkt und liegt somit ebenfalls auf der Nagel-Geraden.
• Der Nagelpunkt und der Gergonne-Punkt sind isotomisch konjugiert.

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Nagel-Punkts ($X_8$) sind (gleichwertig)

$\frac{b+c-a}{a}:\frac{c+a-b}{b}:\frac{a+b-c}{c}$ oder

${\csc }^2\frac{\alpha }{2}:{\csc }^2\frac{\beta }{2}:{\csc }^2\frac{\gamma }{2}$.

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

$(b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)$ oder

$\cot \frac{\alpha }{2}:\cot \frac{\beta }{2}:\cot \frac{\gamma }{2}$.

Dabei sind $a,b,c$ die Seitenlängen des Dreiecks und $\alpha ,\beta ,\gamma$ die Größen der Innenwinkel.

Literatur

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv 71, 1987, 2, S. 230–233
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 225–229 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Edwin Kozniewski, Renata A. Gorska: Gergonne and Nagel Points for Simplices in the n-Dimensional Space. Journal for Geometry and Graphics, Band 4, 2000, Nr. 2, S. 119–127
• Victor Thébault: Nagel Point in the Tetrahedron. The American Mathematical Monthly, Band 54, Nr. 5 (Mai, 1947), S. 275–276 (Vorlage:JSTOR)

Weblinks

• Eric W. Weisstein. „Nagel Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
• The Nagel and Gergonne Points
• Heinz Klemenz: Merkwürdiges im Dreieck