Lineare Differenzengleichung

Lineare Differenzengleichungen (auch lineare Rekursionsgleichungen, selten C-Rekursionen oder lineare Rekurrenz von engl. linear recurrence relation) sind Beziehungen einer besonders einfachen Form zwischen den Gliedern einer Folge.

Beispiel

Ein bekanntes Beispiel einer Folge, die einer linearen Differenzengleichung genügt, ist die Fibonacci-Folge. Mit der linearen Differenzengleichung

$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}(n=2,3,4,\dots )$

und den Anfangswerten $f_0=0$ und $f_1=1$ ergibt sich die Folge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Jedes Folgenglied (abgesehen von den beiden Anfangswerten) ist also die Summe der beiden vorherigen.

Allgemein nennt man jede Gleichung der Form

$f_n=a_1{f}_{n-1}+a_2{f}_{n-2}$

mit gegebenen Koeffizienten $a_1$ und $a_2$ eine (homogene) lineare Differenzengleichung 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten). Eine Folge $F=(f_0,f_1,f_2,\dots ),$ welche die Gleichung für $n=2,3,4,\dots$ erfüllt, heißt Lösung der Differenzengleichung. Diese Lösungen sind durch die zwei Anfangswerte eindeutig definiert.

Die Fibonacci-Folge ist also eine Lösung der Differenzengleichung, die durch $a_1=a_2=1$ definiert ist. Die Folge ist durch die Anfangswerte $f_0=0$ und $f_1=1$ eindeutig bestimmt.

Allgemeine Theorie

Eine lineare Differenzengleichung $k$-ter Ordnung über einem Körper $𝕂$ ist von der Form

$\sum _{i=0}^k{a}_i(n)f_{n-i}=b(n),$

wobei $a_i(n)\in 𝕂,a_0(n)\ne 0,n\in \mathbb{N},n\ge k$. Die lineare Differenzengleichung wird dabei von den Koeffizienten $a_0(n),a_1(n),\dots ,a_k(n)$ und der Funktion $b(n)$ definiert. Eine Zahlenfolge $F=(f_0,f_1,f_2,\dots )$, die für alle $n\ge k$ die Gleichung erfüllt, heißt Lösung der Differenzengleichung. Diese unendliche Folge ist durch ihre $k$ Anfangswerte $f_0,f_1,\dots ,f_{k-1}$ eindeutig bestimmt. Ist $b(n)=0$ für alle $n\ge k$, so heißt die Gleichung homogen, ansonsten heißt sie inhomogen. Die Zahlenfolge $f_n=0$ für alle $n$ erfüllt alle homogenen Gleichungen und heißt deshalb triviale Lösung.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann $a_0(n)=-1$ angenommen werden. Damit erhält man eine alternative Darstellung, die die Berechnungsvorschrift für $f_n$ aus den $k$ vorhergehenden Werten anschaulicher verdeutlicht:

$f_n=a_1(n)f_{n-1}+a_2(n)f_{n-2}+\dots +a_k(n)f_{n-k}-b(n)=\sum _{i=1}^k{a}_i(n)f_{n-i}-b(n),$

wobei $a_i(n)\in 𝕂,n\in \mathbb{N},n\ge k$.

Rechenregeln

• Sind $F$ und $G$ Lösungen der homogenen linearen Differenzengleichung ${\sum }_{i=0}^k{a}_i(n)f_{n-i}=0$, dann ist auch $\alpha F+\beta G$ für beliebige $\alpha ,\beta \in 𝕂$ eine Lösung.
• Sind $F$ und $G$ Lösungen der inhomogenen linearen Differenzengleichung ${\sum }_{i=0}^k{a}_i(n)f_{n-i}=b(n)$, dann ist $F-G$ eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differenzengleichung mit $b(n)=0$ für alle $n\ge k$.
• Ist $F$ eine Lösung der inhomogenen linearen Differenzengleichung ${\sum }_{i=0}^k{a}_i(n)f_{n-i}=b(n)$ und $G$ eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differenzengleichung mit $b(n)=0$ für alle $n\ge k$, dann ist auch $F+\alpha G$ für beliebige $\alpha \in 𝕂$ eine Lösung der inhomogenen linearen Differenzengleichung.

Lösungstheorie homogener linearer Differenzengleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Ansatz mit einer geometrischen Folge

Die erste Idee zur Lösung besteht in der Beobachtung, dass derartige Folgen meist exponentiell wachsen. Das legt den ersten Ansatz $f_n={\lambda }^n$ mit einem festen $\lambda \in 𝕂$ nahe. Eingesetzt ergibt das

${\lambda }^n=a_1{\lambda }^{n-1}+a_2{\lambda }^{n-2}(n=2,3,4,\dots ),$

d. h.

${\lambda }^2-a_1\lambda -a_2=0.$

Diese quadratische Gleichung heißt charakteristische Gleichung der Rekursion. Folgen der Form $f_n={\lambda }^n$ mit einem $\lambda$, das Lösung der charakteristischen Gleichung ist, erfüllen also die gewünschte Rekursionsgleichung.

Ansatz mit Hilfe des Superpositionsprinzips

Die zweite Idee ist die der Superposition: Sind $F$ und $G$ Folgen, die die Rekursionsgleichung erfüllen, so gilt das auch für die Folge $H$ mit

$h_n=c_1{f}_n+c_2{g}_n$

mit beliebigen Konstanten $c_1,c_2\in 𝕂$. Man kann das auch so ausdrücken: Die Menge aller Folgen, die die Rekursionsgleichung erfüllen, bildet einen Vektorraum über $𝕂$.

Sind jetzt Anfangswerte $f_0,f_1$ gegeben, und hat die charakteristische Gleichung zwei verschiedene Lösungen ${\lambda }_1,{\lambda }_2$, so können die Koeffizienten $c_1,c_2$ aus dem folgenden linearen Gleichungssystem bestimmt werden:

$f_0=c_1{\lambda }_1^0+c_2{\lambda }_2^0=c_1+c_2$

$f_1=c_1{\lambda }_1^1+c_2{\lambda }_2^1=c_1{\lambda }_1+c_2{\lambda }_2$

Dann gilt $f_n=c_1{\lambda }_1^n+c_2{\lambda }_2^n$ für alle $n$.

Im Beispiel der Fibonacci-Folge sind

${\lambda }_{1/2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2},c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}=-c_2,$

es ergibt sich also die sogenannte Binet-Formel

$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}({\lambda }_1^n-{\lambda }_2^n).$

Sonderfall: Die charakteristische Gleichung hat eine doppelte Lösung

Hat die charakteristische Gleichung nur eine Lösung, das heißt eine doppelte Nullstelle $\lambda ,$ so wird die homogene Differenzengleichung auch von der Folge $\left(n{\lambda }^{n-1}\right)$ gelöst (diese beginnt mit $0{\lambda }^{-1}=0,$ was für $\lambda =0$ noch so festgelegt sei). Die allgemeine Lösung hat die Form

$f_n=c_1{\lambda }^n+c_{2}n{\lambda }^{n-1}.$

Beispielsweise erfüllt $f_n=n$ (also $c_1=0,c_2=1,\lambda =1$) die Rekursionsgleichung

$f_n=2f_{n-1}-f_{n-2}.$

Lösung linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten

Eine lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten hat die Form

$\sum _{i=0}^k{a}_i{f}_{n-i}=b(n),$

wobei alle $a_i$ konstant sind.

Lösung der homogenen Gleichung

Mit dem Ansatz $f_n={\lambda }^n$ wird eine nichttriviale Lösung der homogenen Gleichung ${\sum }_{i=0}^k{a}_i{f}_{n-i}=0$ ermittelt. $a_0$ sei o. B. d. A. gleich $-1$. Dies führt auf die charakteristische Gleichung ${\lambda }^n-{\sum }_{i=1}^k{a}_i{\lambda }^{n-i}=0$. Die verschiedenen Nullstellen der Gleichung ergeben dann linear unabhängige Lösungsfolgen und damit Lösungen der homogenen Gleichung.

Sind die Nullstellen nicht verschieden, so kommt die zu einer mehrfachen Nullstelle gehörende Lösungsfolge mit einem Faktor in der Lösung vor, der ein Polynom in $n$ mit einem Grad kleiner als die Vielfachheit der Nullstelle ist.

Beispiel:

$3f_n=-2f_{n-1}+5f_{n-2}$	Homogene Differenzengleichung
$3{\lambda }^n+2{\lambda }^{n-1}-5{\lambda }^{n-2}=0$	Ansatz: $f_j={\lambda }^j$
$3{\lambda }^2+2\lambda -5=0$	Charakteristische Gleichung mit ${\lambda }_{1,2}=-\frac{1}{3}\pm \frac{4}{3}\in \{-\frac{5}{3},1\}$
$f_n=c_1{(-\frac{5}{3})}^n+c_2{1}^n$	Lösung der Gleichung als Linearkombination spezieller Lösungen. Die Konstanten $c_1$ und $c_2$ können aus zwei Anfangswerten von $F$, $f_0$ und $f_1$ bestimmt werden.

Partikuläre Lösung

Die Bestimmung geschieht hier analog zu Differentialgleichungen.

Störfunktion b(n)	Ansatz partikuläre Lösung
Konstante	Konstante
Polynom	Polynom gleichen Grades
$u^n$	$k\cdot u^n$
$\sin (\alpha \cdot n),\cos (\alpha \cdot n)$	$A\cdot \sin (\alpha \cdot n)+B\cdot \cos (\alpha \cdot n)$

In der letzten Zeile wird $𝕂=ℝ$ angenommen. Falls der Ansatz bereits eine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzengleichung sein sollte, ist er mit $n,n^2,n^3$ zu multiplizieren, bis er eine Lösung der inhomogenen Gleichung liefert.

Beispiel

Gegeben ist eine Folge $F$ mit $f_0=2,f_1=5,f_n=5f_{n-1}-6f_{n-2}+(n-2)$. Gesucht ist die explizite Formel. Wir suchen zuerst die allgemeine Lösung für die homogene Rekursionsgleichung.

$f_n-5f_{n-1}+6f_{n-2}=n-2$	Inhomogene Rekursionsgleichung
$f_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n},n}-5f_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n},n-1}+6f_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n},n-2}=0$	Homogene Rekursionsgleichung, Ansatz: $f_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n},n}={\lambda }^n$
${\lambda }^n-5{\lambda }^{n-1}+6{\lambda }^{n-2}={\lambda }^{n-2}({\lambda }^2-5\lambda +6)=0$	Kürzen von ${\lambda }^{n-2}$, Lösungen $\lambda =0$ verfallen
${\lambda }^2-5\lambda +6=0$	Charakteristische Gleichung, Lösungen: ${\lambda }_1=2$ und ${\lambda }_2=3$
$f_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n},n}=c_1\cdot 2^n+c_2\cdot 3^n$	Allgemeine Lösung der homogenen Rekursionsgleichung

Nun suchen wir eine spezielle Lösung der inhomogenen Rekursionsgleichung, die partikuläre Lösung.

$f_n-5f_{n-1}+6f_{n-2}=n-2$

Inhomogene Rekursionsgleichung, Ansatz: $f_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{r},n}=c_{3}n+c_4$

$c_{3}n+c_4-5(c_3(n-1)+c_4)+6(c_3(n-2)+c_4)=n-2$

$2c_{3}n-7c_3+2c_4=n-2$	Lösung durch Koeffizientenvergleich: $c_3=\frac{1}{2},c_4=\frac{3}{4}$
$f_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{r},n}=\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}$	Partikuläre Lösung

Gemäß den obigen Rechenregeln erhalten wir mit $f_n=f_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n},n}+f_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{r},n}=c_1\cdot 2^n+c_2\cdot 3^n+\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}$ alle Lösungen der inhomogenen Rekursionsgleichung. Nun müssen $c_1$ und $c_2$ noch so bestimmt werden, dass $f_0=2$ und $f_1=5$ gilt.

	$c_1\cdot 2^n+c_2\cdot 3^n+\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}=f_n$
$n=0$:	$c_1+c_2+\frac{3}{4}=2$
$n=1$:	$c_1\cdot 2+c_2\cdot 3+\frac{5}{4}=5$
	$\Rightarrow c_1=0,c_2=\frac{5}{4}$

Also ist $f_n=\frac{5}{4}\cdot 3^n+\frac{1}{2}\cdot n+\frac{3}{4}$ die gesuchte Formel.

Siehe auch

• Inhomogene lineare Differentialgleichung
• Erzeugende Funktion
• Gewöhnliche Differentialgleichung

Literatur

• L. Berg: Lineare Gleichungssysteme mit Bandstruktur. Carl Hanser, München/Wien 1986.
• Ian Jaques: Mathematics for Economics and Business. Fifth Edition, Prentice Hall, 2006 (Kapitel 9.1 Difference Equations).