Hausdorff-Metrik

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand $\delta (A,B)$ zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen $A$, $B$ eines metrischen Raums $E$.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.

Definition

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand $D$ zwischen einem Punkt $x$ und einer nichtleeren kompakten Teilmenge $K\subseteq E$ unter Rückgriff auf die Metrik $d$ des Raums $E$ als

$D(x,K):=\min \{d(x,k)\mid k\in K\}.$

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen $A$ und $B$ als

$\delta (A,B):=\max \{\max \{D(a,B)\mid a\in A\},\max \{D(b,A)\mid b\in B\}\}.$

Man kann zeigen, dass $\delta$ in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von $E$ ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

$\delta (A,B)=\inf \{ϵ\ge 0|A\subseteq B_{ϵ}\text{ und }B\subseteq A_{ϵ}\}$,

wobei

$A_{ϵ}:=\bigcup _{a\in A}\{z\in E|d(z,a)\le ϵ\}$,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens $ϵ$ zur Menge $A$.

Anwendungen

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch

• Hausdorff-Konvergenz
• Auswahlsatz von Blaschke
• Gromov-Hausdorff-Metrik

Literatur

• Vorlage:EoM