Maßraum

Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.

Definition

Das Tripel $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ heißt Maßraum, wenn

• $\mathrm{\Omega }$ eine beliebige, nichtleere Menge ist. $\mathrm{\Omega }$ wird dann auch Grundmenge genannt.
• $𝒜$ eine σ-Algebra über der Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ ist.
• $\mu$ ein Maß ist, das auf $𝒜$ definiert ist.

Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ versehen mit einem Maß $\mu$ definieren.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge $\mathrm{\Omega }=\mathbb{N}$, als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge $𝒜=𝒫(\mathbb{N})$ und als Maß das Diracmaß auf der 1: $\mu ={\delta }_1$.

Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge $ℝ$, versehen mit der borelschen σ-Algebra $ℬ(ℝ)$ und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.

Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }$, der Ereignisalgebra $𝒜$ und dem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$.

Klassen von Maßräumen

Endliche Maßräume

Ein Maßraum $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also $\mu (\mathrm{\Omega })<\mathrm{\infty }$ ist.

σ-endliche Maßräume

Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra $𝒜$) ist.

Vollständige Maßräume

Vorlage:Hauptartikel Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.

Signierte Maßräume

Ist $𝒜$ eine σ-Algebra über der Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ und $\nu$ ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel $(\mathrm{\Omega },𝒜,\nu )$ einen signierten Maßraum.

Separable Maßräume

Ein Maßraum $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem $𝒮\subset 𝒜$ existiert, so dass für alle $A\in 𝒜$ und beliebige $\epsilon >0$ ein $S\in S$ existiert, so dass $\mu (A\mathrm{△}S)<\epsilon$ ist.

Zerlegbare Maßräume

Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.

Lokalisierbare Maßräume

Vorlage:Hauptartikel Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.

Literatur

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