Primideal

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen

Es sei $R$ ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal $𝔭\subseteq R$ Primideal oder prim, falls $𝔭$ echt ist, also $𝔭\ne R$, und wenn für alle Ideale $𝔞,𝔟\subseteq R$ gilt:

Aus $𝔞𝔟\subseteq 𝔭$ folgt $𝔞\subseteq 𝔭$ oder $𝔟\subseteq 𝔭.$

Außerdem heißt $𝔭$ vollständiges Primideal oder vollprim, falls $𝔭$ echt ist und wenn für alle $a,b\in R$ gilt:

Aus $ab\in 𝔭$ folgt $a\in 𝔭$ oder $b\in 𝔭.$

Äquivalente Definitionen

• Ein zweiseitiges Ideal $𝔭\subseteq R$ ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle $a,b\in R$ gilt:

Aus (für alle $r\in R$ gilt $arb\in 𝔭$) folgt ($a\in 𝔭$ oder $b\in 𝔭$).

• Ein zweiseitiges Ideal $𝔭\subseteq R$ ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring $R/𝔭$ nullteilerfrei ist.

Spektrum

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings $R$ heißt Spektrum von $R$ und wird mit $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ notiert.

Eigenschaften

• Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen $2\times 2$-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
• In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen $R$ mit Einselement gilt:

• Ein Element $p\in R\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$ ist genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.
• Ein Ideal $𝔭\subset R$ ist genau dann prim, wenn der Faktorring $R/𝔭$ ein Integritätsring ist.
• Enthält ein Primideal einen Durchschnitt ${𝔞}_1\cap \dots \cap {𝔞}_n$ von endlich vielen Idealen von $R$, so enthält es auch eines der Ideale ${𝔞}_i$.
• Ein Ideal $𝔭\subset R$ ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge $S=R\setminus 𝔭$ multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach $𝔭$, worunter man den Ring $S^{-1}R$ versteht, den man auch als $R_{𝔭}$ schreibt.

Beispiele

• Die Menge $2\mathbb{Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
• Die Menge $6\mathbb{Z}$ der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in $\mathbb{Z}$, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
• Im Ring $R=2\mathbb{Z}$ ist das maximale Ideal $𝔪=4\mathbb{Z}$ kein Primideal.
• Ein maximales Ideal $𝔪\subseteq R$ eines Ringes $R$ ist genau dann prim, wenn $RR⊈𝔪$. Insbesondere ist $𝔪$ prim, falls $R$ ein Einselement enthält.
• Das Nullideal $(0)\subset R$ in einem kommutativen Ring $R$ mit Einselement ist genau dann ein Primideal, wenn $R$ ein Integritätsbereich ist. In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
• Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus kommutativer Ringe ist entweder der ganze Ring oder ein Primideal. Das gilt nicht allgemein, so ist etwa das Nullideal im Ring der $n\times n$-Matrizen über einem Körper prim, aber dessen Urbild unter der Inklusion des Rings der (oberen oder unteren) $n\times n$-Dreiecksmatrizen über dem Körper nicht.

Lying Over und Going Down

Im Folgenden sei stets $R$ ein kommutativer Ring und $R\subset S$ eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal $𝔭\subset R$ ein Primideal $𝔮\subset S$, so dass $𝔮$ über $𝔭$ liegt, d. h.

$𝔭=𝔮\cap R$.

In diesem Fall sagt man auch, dass $S/R$ die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem $f:R\hookrightarrow S$ eine Einbettung von $R$ in $S$, so ist die von $f$ induzierte Abbildung $f^{*}:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(S)⟶\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ mit $𝔮⟼f^{-1}(𝔮)$ surjektiv.

Des Weiteren erfüllt $S/R$ die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: Ist

${𝔭}_1\supseteq {𝔭}_2\supseteq \cdots \supseteq {𝔭}_n$

eine Kette von Primidealen in $R$ und

${𝔮}_1\supseteq {𝔮}_2\supseteq \cdots \supseteq {𝔮}_m$

eine Kette von Primidealen in $S$ mit $m<n$, so dass außerdem ${𝔮}_i$ über ${𝔭}_i$ liegt für alle $1\le i\le m$, so lässt sich letztere zu einer Kette

${𝔮}_1\supseteq {𝔮}_2\supseteq \cdots \supseteq {𝔮}_n$

ergänzen, so dass jedes ${𝔮}_i$ über ${𝔭}_i$ liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn $R,S$ Integritätsringe sind und $R$ ganzabgeschlossen ist.