Fraktionale Caputo-Ableitung

Die fraktionale Caputo-Ableitung ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung von Ableitungen für nicht-ganzzahlige Ordnungen benannt nach Michele Caputo. 1967 definierte Caputo diese Form der fraktionalen Ableitung das erste Mal.

Motivation

Die fraktionale Caputo-Ableitung ist motiviert aus den fraktionalen Riemann–Liouville-Intergal. Sei $f$ stetig in $(0,\mathrm{\infty })$, dann ist das fraktionale Riemann–Liouville-Integral ${}^{\text{RL}}\mathrm{I}$ aus $f$ gegeben durch

$${}_0^{\text{RL}}{\mathrm{I}}_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-\alpha )}\cdot \underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{{(x-t)}^{1-\alpha }}\mathrm{d}t$$

wobei $\mathrm{\Gamma }(\cdot )$ die Gammafunktion ist.

Man definiert ${\mathrm{D}}_x^{\alpha }:=\frac{{\mathrm{d}}^{\alpha }}{\mathrm{d}{x}^{\alpha }}$ mit der Eigenschaft ${\mathrm{D}}_x^{\alpha }{\mathrm{D}}_x^{\beta }={\mathrm{D}}_x^{\alpha +\beta }$ und ${\mathrm{D}}_x^{\alpha }={}^{\text{RL}}{\mathrm{I}}_x^{-\alpha }$. Wenn $\alpha =m+z\in ℝ\wedge m\in {\mathbb{N}}_0\wedge 0<z<1$ gilt, folgt daraus ${\mathrm{D}}_x^{\alpha }={\mathrm{D}}_x^{m+z}={\mathrm{D}}_x^{z+m}={\mathrm{D}}_x^{z-1+1+m}={\mathrm{D}}_x^{z-1}{\mathrm{D}}_x^{1+m}={{}^{\text{RL}}\mathrm{I}}_x^{1-z}{\mathrm{D}}_x^{1+m}$. Sollte also $f$ $C^m(0,\mathrm{\infty })$ sein, so folgt

$${\mathrm{D}}_x^{m+z}\left[f\left(x\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-z)}\cdot \underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(1+m)}\left(t\right)}{{(x-t)}^z}\mathrm{d}t.$$

Der Zusammenhang wird als fraktionale Caputo-Ableitung bezeichnet, mit der häufig genutzten Notation ${{}^{\text{C}}\mathrm{D}}_x^{\alpha }$.

Definition

Die erste Definition der fraktionale Caputo-Ableitung wurde von Caputo gegeben durch:

$${}^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{m+z}\left[f\left(x\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-z)}\cdot \underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(m+1)}\left(t\right)}{{(x-t)}^z}\mathrm{d}t$$

mit $f$ $C^m(0,\mathrm{\infty })$ und $m\in {\mathbb{N}}_0\wedge 0<z<1$.

Eine andere beliebte äquivalente Definition ist gegeben durch:

$${}^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}\cdot \underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{\left(\lceil \alpha \rceil \right)}\left(t\right)}{{(x-t)}^{\alpha +1-\lceil \alpha \rceil }}\mathrm{d}t$$

wobei $\alpha \in {ℝ}_{>0}\setminus \mathbb{N}$ und $\lceil \cdot \rceil$ ist die Aufrundungsfunktion. Das kann aus der vorherigen Formel durch die Substitution $\alpha :=m+z$ und den Fakt, dass $\lceil \alpha \rceil =m+1$ gilt, und somit $\lceil \alpha \rceil +z=\alpha +1$ folgt.

Eine weitere beliebte äquivalente Definition ist gegeben durch:

$${}^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}\cdot \underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{\left(n\right)}\left(t\right)}{{(x-t)}^{\alpha +1-n}}\mathrm{d}t$$

mit $n-1<\alpha <n\in \mathbb{N}.$.

Das Problem mit diesen Definitionen ist, dass sie nur Argumente in $(0,\mathrm{\infty })$ zulassen. Das kann behoben werden, indem die untere Grenze des Integrals mit $a$ ausgetauscht wird: ${}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}\cdot \underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{\left(\lceil \alpha \rceil \right)}\left(t\right)}{{(x-t)}^{\alpha +1-\lceil \alpha \rceil }}\mathrm{d}t$. Der neue Definitionsbereich ist $(a,\mathrm{\infty })$.

Eigenschaften und Sätze

Wichtige Eigenschaften und Sätze

Einige wichtige Eigenschaften sind:

Eine Tabelle wichtiger Eigenschaften und Sätze

Eigenschaften	$f\left(x\right)$	${}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]$	Bedingung
Definition	$f\left(x\right)$	$f^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)-f^{\left(\alpha \right)}\left(a\right)$
Linearität	$b\cdot g\left(x\right)+c\cdot h\left(x\right)$	$b\cdot {}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[g\left(x\right)\right]+c\cdot {}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[h\left(x\right)\right]$
Indexregel	${\mathrm{D}}_x^{\beta }$	${}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha +\beta }$	$\beta \in \mathbb{Z}$
Halbgruppenregel	${}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\beta }$	${}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha +\beta }$	$\lceil \alpha \rceil =\lceil \beta \rceil$

Antikommutativität

Die Indexregel ist nicht kommutativ:

$${{}_{}^{\mathrm{a}}\mathrm{D}}_x^{\alpha }{{}_{}^{\mathrm{a}}\mathrm{D}}_x^{\beta }={{}_{}^{\mathrm{a}}\mathrm{D}}_x^{\alpha +\beta }\ne {{}_{}^{\mathrm{a}}\mathrm{D}}_x^{\beta }{{}_{}^{\mathrm{a}}\mathrm{D}}_x^{\alpha }$$

mit $\alpha \in {ℝ}_{>0}\setminus \mathbb{N}\wedge \beta \in \mathbb{N}$.

Fraktionale Produktregel

Die Produktregel für die fraktionale Caputo-Ableitung ist gegeben durch:

$${{}_{}^{\mathrm{a}}\mathrm{D}}_x^{\alpha }[g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{k})\cdot g^{\left(k\right)}\left(x\right)\cdot {{}_{}^{\mathrm{a}}\mathrm{D}}_x^{\alpha -k}\left[h\left(x\right)\right]]-\frac{{(x-a)}^{-\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}\cdot g\left(a\right)\cdot h\left(a\right)$$

mit $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})=\frac{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{\mathrm{\Gamma }(b+1)\cdot \mathrm{\Gamma }(a-b+1)}$ als der Binomialkoeffizient.

Beziehung zu anderen fraktionalen Differentialoperatoren

Die fraktionale Caputo-Ableitung ist eng verbunden mit dem fraktionalen Riemann–Liouville-Integral, bedingt durch ihre Definition:

$${}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]={}_a^{\text{RL}}{\mathrm{I}}_x^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left[{\mathrm{D}}_x^{\lceil \alpha \rceil }\left[f\left(x\right)\right]\right]$$

Des Weiteren gilt folgende Relation:

$${}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]={}_a^{\text{RL}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]-\sum _{k=0}^{\lceil \alpha \rceil }[\frac{x^{k-\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(k-\alpha +1)}\cdot f^{\left(k\right)}\left(0\right)]$$

wobei ${}_a^{\text{RL}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }$ die fractionale Riemann–Liouville-Ableitung ist.

Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation der fraktionalen Caputo-Ableitung ist gegeben durch:

$${ℒ}_x\left\{{}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]\right\}\left(s\right)=s^{\alpha }\cdot F\left(s\right)-\sum _{k=0}^{\lceil \alpha \rceil }[s^{\alpha -k-1}\cdot f^{\left(k\right)}\left(0\right)]$$

mit ${ℒ}_x\left\{f\left(x\right)\right\}\left(s\right)=:F\left(s\right)$.

Fraktionale Caputo-Ableitung einiger Funktionen

Die fraktionale Caputo-Ableitung einer Konstante $c$ ist gegeben durch:

$$\begin{array}{cc}{}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[c\right]& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}\cdot \underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{{\mathrm{D}}_t^{\lceil \alpha \rceil }\left[c\right]}{{(x-t)}^{\alpha +1-\lceil \alpha \rceil }}\mathrm{d}t=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\lceil \alpha \rceil -\alpha )}\cdot \underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{0}{{(x-t)}^{\alpha +1-\lceil \alpha \rceil }}\mathrm{d}t\\ {}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[c\right]& =0\end{array}$$

Die fraktionale Caputo-Ableitung einer Potenzfunktion $x^b$ ist gegeben durch:

$$\begin{array}{cc}{}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[x^b\right]& ={}_a^{\text{RL}}{\mathrm{I}}_x^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left[{\mathrm{D}}_x^{\lceil \alpha \rceil }\left[x^b\right]\right]=\frac{\mathrm{\Gamma }(b+1)}{\mathrm{\Gamma }(b-\lceil \alpha \rceil +1)}\cdot {}_a^{\text{RL}}{\mathrm{I}}_x^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left[x^{b-\lceil \alpha \rceil }\right]\\ {}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[x^b\right]& =\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Gamma }(b+1)}{\mathrm{\Gamma }(b-\alpha +1)}(x^{b-\alpha }-a^{b-\alpha }),& \text{for }\lceil \alpha \rceil -1<b\wedge b\in ℝ\\ 0,& \text{for }\lceil \alpha \rceil -1\ge b\wedge b\in \mathbb{N}\end{array}\end{array}$$

Die fraktionale Caputo-Ableitung einer Exponentialfunktion $e^{a\cdot x}$ ist gegeben durch:

$$\begin{array}{cc}{}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[e^{b\cdot x}\right]& ={}_a^{\text{RL}}{\mathrm{I}}_x^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left[{\mathrm{D}}_x^{\lceil \alpha \rceil }\left[e^{b\cdot x}\right]\right]=b^{\lceil \alpha \rceil }\cdot {}_a^{\text{RL}}{\mathrm{I}}_x^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left[e^{b\cdot x}\right]\\ {}_a^{\text{C}}{\mathrm{D}}_x^{\alpha }\left[e^{b\cdot x}\right]& =b^{\alpha }\cdot (E_x(\lceil \alpha \rceil -\alpha ,b)-E_a(\lceil \alpha \rceil -\alpha ,b))\\ \end{array}$$

wobei $E_x(\nu ,a):=\frac{a^{-\nu }\cdot e^{a\cdot x}\cdot \gamma (\nu ,a\cdot x)}{\mathrm{\Gamma }\left(\nu \right)}$ die ${\mathrm{E}}_t$-Funktion und$\gamma (a,b)$ die untere unvollständige Gammafunktion ist.

Weblinks

• Ricardo Almeida: A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function