Lie-Gruppoid

In der Mathematik ist das Lie-Gruppoid eine Verallgemeinerung des Begriffs der Lie-Gruppe.

Definition

Ein Lie-Gruppoid ist ein Gruppoid, dessen Menge von Objekten $G_0$ und Mengen von Morphismen $G_1=\bigcup _{x,y\in G_0}G(x,y)$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, dessen Strukturabbildungen $comp:G(x,y)\times G(y,z)\to G(x,z)$ und $inv:G(x,y)\to G(y,x)$ für alle $x,y,z\in G_0$ differenzierbare Abbildungen und dessen durch Quell- und Zielabbildungen $s,t:G_1\to G_0$ surjektive Submersionen sind.

Beispiele

• Eine Lie-Gruppe $G$ ist ein Lie-Gruppoid mit $X_0=\{*\}$ und $X_1=G$. Die Strukturabbildungen $comp$ und $inv$ sind Multiplikation und Inversion in der Gruppe $G$.
• Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ ist ein Lie-Gruppoid mit $X_0=X_1=M$ und $G(x,y)=\mathrm{\varnothing }$ für $x=y$ sowie $G(x,x)=\left\{i{d}_x\right\}$ für alle $x\in G_0$.
• Eine differenzierbare Gruppenwirkung $M\times G\to M$ gibt ein Wirkungsgruppoid mit $X_0=M,X_1=G\times M,s(g,x)=x,t(x,g)=gx,comp((g,x),(h,gx))=(x,hg),inv((g,x))=(g^{-1},gx)$.
• Das Fundamentalgruppoid einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ besteht aus $X_0=M$ und den Homotopieklassen (bei die Randpunkte festlassenden Homotopien) von Wegen $w:[0,1]\to M$ als $X_1$, mit $s(w)=w(0),t(w)=w(1)$ sowie der Verknüpfung von Wegen (modulo Homotopie) als Komposition und der Umdrehung von Wegen (modulo Homotopie) als Inversion.

Weblinks

• Lie groupoid (nLab)