Brahmasphutasiddhanta

Brahmasphutasiddhanta (Brāhmasphuṭasiddhānta: Sanskrit, ब्राह्मस्फुटसिद्धान्तः = „Vervollkommnung der Lehre Brahmas“) ist das bekannteste Werk des indischen Mathematikers Brahmagupta. Erstellt wurde das in Versform geschriebene Buch ungefähr im Jahr 628.

Inhalt

Das Buch besteht aus 24 Kapiteln, die vor allem der Astronomie gewidmet sind. Zwei Kapitel behandeln mathematische Themen und sind eine deutliche Weiterentwicklung der Mathematik, wie sie im Werk Aryabhatiya des Mathematikers Aryabhata dargelegt ist: In den 66 Versen von Kapitel XII und den 101 Versen von Kapitel XVIII werden arithmetische und algebraische Rechenmethoden ohne Beweise äußerst knapp beschrieben.

Negative Zahlen

Im Buch findet sich die älteste bekannte systematische Beschreibung der Eigenschaften der Null, der positiven und negativen Zahlen, wobei eine Vorstellung von Eigentum und Schuld zugrunde liegt: Vorlage:Zitat

Quadratische Gleichungen

Die Zulässigkeit negativer Zahlen verwendete Brahmagupta dazu, quadratische Gleichungen in allgemeiner Form ohne Fallunterscheidungen zu lösen. Konkret beschrieb er die Berechnung einer Lösung der quadratischen Gleichung, die man heute in der Form

$a{x}^2+bx=c$  mit $a,b,c\in ℝ$ und $a>0$

notiert, in verbaler Weise, d. h. ohne Formeln:

Das entspricht der Lösungsformel

$x=\frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}.$

Pellsche Gleichungen

In Kapitel XVIII, Verse 64 bis 71 werden spezielle diophantische Gleichungen, nämlich Pellsche Gleichungen, untersucht. Dabei wird zu zwei (nicht unbedingt verschiedenen) Lösungspaaren $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ der Pellschen Gleichung

$x^2-n{y}^2=1$

Ein Kommentar von Brahmaguptas Brāhmasphuṭasiddhānta, den Pṛthūdhaka im 10. Jahrhundert erstellt hat

ein drittes Lösungspaar $(x_3,y_3)$ mittels der Brahmagupta-Identität berechnet. Brahmagupta verwendet sogar noch eine etwas allgemeinere Version, bei der zu Lösungspaaren $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ der beiden Gleichungen

$x_1^2-n{y}_1^2=k_1$ und $x_2^2-n{y}_2^2=k_2$

ein Lösungspaar der Gleichung

$x_3^2-n{y}_3^2=k_1{k}_2$, nämlich

$x_3=x_1{x}_2+n{y}_1{y}_2$ und $y_3=x_1{y}_2+x_2{y}_1$,

berechnet wird.

Wirkung

Die Werke Brahmaguptas und seiner Zeitgenossen, insbesondere betreffend Astronomie und die indisch-arabische Ziffernschreibweise, haben mittels Übersetzungen ins Arabische die Entwicklung der islamischen Mathematik maßgeblich beeinflusst. Dabei wurde allerdings von den arabischen Mathematikern wie al-Chwarizmi die Verwendung negativer Zahlen nicht aufgegriffen.

Verfügbare Editionen

Die erste Übersetzung in eine europäische Sprache samt einer breiten Verfügbarmachung geht auf Henry Thomas Colebrooke im Jahr 1817 zurück. Im Jahr 1902 erfolgte eine Edition ohne Übersetzung. Eine Originalversion in Sanskrit mit Kommentaren in Englisch wurde 1966 veröffentlicht.

Literatur

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