HWI-Ungleichung

Die HWI-Ungleichung ist eine Funktionalungleichung aus der Theorie des optimalen Transportes, welche die relative Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes bezüglich eines Referenzmaßes durch die Wasserstein-Distanz mit quadratischen Transportkosten und die relative Fisher-Information nach oben beschränkt. Sie impliziert eine Transport-Ungleichung von Talagrand und eine logarithmische Sobolew-Ungleichung für gaußsche Maße.

Die Gleichung wurde 2000 von Felix Otto und Cédric Villani bewiesen.

HWI-Ungleichung

Vorbereitung

Sei

• $(E,d)$ ein polnischer Raum mit Borel-σ-Algebra $ℬ(E)$,
• $𝒫(E)$ der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(E,ℬ(E))$.
• ${𝒫}_n(E)$ der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(E,ℬ(E))$ mit endlichem $n$-ten Moment.
• $ℬ(E\times E),𝒫(E\times E)$ definieren wir analog für den Produktraum $E\times E$,
• $dx$ das Lebesgue-Maß,
• $C^p(A,B)$ der Raum der $p$-mal stetig differenzierbaren Funktionen der Form $f:A\to B$,
• $I_n$ die $n$-dimensionale Identitätsmatrix.

Seien $\mu ,\nu \in 𝒫(E)$, dann nennen wir ein $\pi \in 𝒫(E\times E)$ eine Kopplung von $(\mu ,\nu )$, falls $\mu$ und $\nu$ seine Marginalen sind, das heißt $\pi (dx\times E)=\mu (dx)$ und $\pi (E\times dx)=\nu (dx)$. Mit $\prod (\mu ,\nu )$ notieren wir den Raum aller Kopplungen von $(\mu ,\nu )$.

Wir nehmen nun an, dass $\mu$ absolut stetig bezüglich $\nu$ ist. Dann definieren wir weiter

• $H(\mu \mid \nu )$ die relative Entropie

$H(\mu \mid \nu )=\underset{E}{\int }\log \left(\frac{d\mu }{d\nu }\right)d\mu =\underset{E}{\int }\frac{d\mu }{d\nu }\log \left(\frac{d\mu }{d\nu }\right)d\nu$,

• $W_p(\mu \mid \nu )$ die Wasserstein-Distanz

$W_p(\mu \mid \nu )=\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{\pi \in \mathrm{\Pi }(\mu ,\nu )}{(\underset{E\times E}{\int }d(x,y{)}^{p}d\pi (x,y))}^{1/p}$,

• $I(\mu \mid \nu )$ die relative Fisher-Information

$I(\mu \mid \nu )=\underset{E}{\int }{|\mathrm{\nabla }\log \left(\frac{d\mu }{d\nu }\right)|}^{2}d\mu =4\underset{E}{\int }{\left|\mathrm{\nabla }\sqrt{\frac{d\mu }{d\nu }}\right|}^{2}d\mu$.

HWI-Ungleichung auf ℝⁿ

Sei nun $E={ℝ}^n$ und $V\in C^2({ℝ}^n,ℝ)$. Nehme an, dass $\nu \in {𝒫}_2(E)$ von der Form

$\nu (dx)=e^{-V}dx$

und $\mu$ absolut stetig bezüglich $\nu$ ist. Weiter soll für die Hesse-Matrix

$\mathrm{Hess}(V)\ge k{I}_n$

für ein $k\in ℝ$ gelten.

Dann gilt die HWI-Ungleichung

$H(\mu \mid \nu )\le W_2(\mu \mid \nu )\sqrt{I(\mu \mid \nu )}-\frac{k}{2}{W}_2(\mu \mid \nu {)}^2.$

Falls $V$ konvex ist, dann gilt

$H(\mu \mid \nu )\le W_2(\mu \mid \nu )\sqrt{I(\mu \mid \nu )}.$

Eigenschaften

Falls $k>0$, dann impliziert die HWI-Ungleichung die logarithmische Sobolew-Ungleichung mit Konstante $k$ sowie die Talagrand-Ungleichung mit Konstante $k$ auf ${ℝ}^n$, notiert mit $LSE(k)$ respektive $T(k)$ für Maße der Form

$\nu (dx)=e^{-V}dx$

HWI-Ungleichung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten

Es existiert auch eine Variante für glatte, zusammenhängende, vollständige riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Literatur

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