Randers-Metrik

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Randers-Metriken eine spezielle Klasse nicht-reversibler Finsler-Metriken. Sie sind nach dem norwegischen Physiker Gunnar Randers benannt.

Konstruktion

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und $b\in {\mathrm{\Omega }}^1(M)$ eine 1-Form mit

$\Vert b{\Vert }_a:=\sqrt{\sum _{i,j}{g}^{ij}(x)b_i{b}_j}<1,$

wobei $\left(g^{ij}\right)$ die inverse Matrix zu $(g_{ij})$ ist. Dann definiert

$F(x,v):=\sqrt{\sum _{i,j}{g}_{ij}(x)v^i{v}^j}+\sum _i{b}_i(x)v^i$

eine Randers-Metrik auf $M$ und $(M,F)$ ist eine Randers-Mannigfaltigkeit. Randers-Mannigfaltigkeiten sind nicht-reversible Finsler-Mannigfaltigkeiten.

Verallgemeinerung: (α,β)-Metriken

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit,

$\alpha (x,v)=\sqrt{\sum _{i,j}{g}_{ij}(x)v^i{v}^j},\beta (x,v)=\sum _i{b}_i(x)v^i,$

und sei $L$ eine homogene Funktion vom Grad 1 in zwei Variablen. Dann definiert $L(\alpha ,\beta )$ eine Finsler-Metrik $L(x,v)$, die als $(\alpha ,\beta )$-Metrik bezeichnet wird.

Insbesondere gibt $L(\alpha ,\beta )=\alpha +\beta$ eine Randers-Metrik und $L(\alpha ,\beta )=\frac{{\alpha }^2}{\beta }$ eine Kropina-Metrik.

Literatur

• Gunnar Randers: On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity. Phys. Rev. 59 (2), 195–199 (1941)
• Makoto Matsumoto: Theory of Finsler spaces with (α,β)-metric. Rep. Math. Phys. 31, No. 1, 43–83 (1992).