Krasnoselski-Genus

Der Krasnoselski-Genus ist ein Begriff aus der nicht-linearen Analysis und verallgemeinert den Dimensionsbegriff eines Vektorraumes. Der Krasnoselski-Genus eines linearen Raumes $A$ ist die kleinste natürliche Zahl $n$, für die es eine stetige ungerade Funktion der Form $f:A\to {ℝ}^n\setminus \{0\}$ gibt. Der Krasnoselski-Genus wurde von Mark Krasnoselski eingeführt und 1969 erschien von Charles Coffman eine äquivalente Definition.

Krasnoselski-Genus

Wir verwendenden die Definition von Coffman.

Sei

• $E$ ein Banachraum,
• $𝒜=\{A\subset E:A\text{ geschlossen},A=-A\}$ der Raum der symmetrischen abgeschlossenen Teilmengen,
• $C(A,{ℝ}^n)$ der Raum der stetigen Funktionen der Form $A\to {ℝ}^n$.

Für ein $A\in 𝒜$ definiere die Menge

$K_A=\{n\in \mathbb{N}:\mathrm{\exists }f\in C(A,{ℝ}^n\setminus \{0\}),-f(x)=f(-x)\}$

dann ist der Krasnoselski-Genus von $A$

$\gamma (A)=\{\begin{array}{cc}\inf K_A& \text{falls }{K}_A\ne \mathrm{\varnothing },\\ \mathrm{\infty }& \text{falls }{K}_A=\mathrm{\varnothing },\\ 0& \text{falls }A=\mathrm{\varnothing }.\end{array}$

In anderen Worten ausgedrückt, falls $\gamma (A)=n$, dann existiert eine stetige ungerade Funktion $\phi :A\to {ℝ}^n$ so dass $0\in ̸\phi (A)$. Des Weiteren ist $n$ die kleinstmögliche Dimension, das heißt es existiert keine solche Funktion $\theta :A\to {ℝ}^d$ mit $d<n$.

Eigenschaften

• Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine beschränkte symmetrische Umgebung von $0$ in ${ℝ}^n$, dann gilt für den Rand $\gamma (\partial \mathrm{\Omega })=n$.

• Seien $A,B\in 𝒜$, dann gilt

1. falls ein ungerades $f\in C(A,B)$ existiert, gilt $\gamma (A)\le \gamma (B)$,
2. falls $A\subset B$, dann gilt $\gamma (A)\le \gamma (B)$,
3. falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen $A$ und $B$ existiert, dann gilt $\gamma (A)=\gamma (B)$

Kombiniert man die beiden Aussagen, dann folgt sofort, falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen $A$ und $\partial \mathrm{\Omega }$ existiert, dann gilt $\gamma (A)=n$.

Literatur

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