Zylindrische σ-Algebra

Die zylindrische σ-Algebra ist eine σ-Algebra, welche durch die Zylindermengen eines Vektorraumes erzeugt wird. Die Zylindermengen hängen von einem Raum von linearen Funktionalen ab, dies kann zum Beispiel der topologische Dualraum sein, die zylindrische σ-Algebra ist dann die kleinste σ-Algebra, so dass diese Funktionen messbar sind. Die zylindrische σ-Algebra ist eine Teilmenge der borelschen σ-Algebra und im Allgemeinen nicht gleich.

Definition

Sei $X$ ein reeller Vektorraum und $X^{*}$ sein algebraischer Dualraum. Weiter sei $F\subseteq X^{*}$ ein Vektorraum von linearen Funktionalen auf $X$ und $ℬ({ℝ}^n)$ die borelsche σ-Algebra auf ${ℝ}^n$.

Wir nennen eine Menge der Form

$Z_{f_1,\dots ,f_n,B}:=\{x\in X:(f_1(x),\dots ,f_n(x))\in B\}$

für $f_1,\dots ,f_n\in F$ und $B\in ℬ({ℝ}^n)$ eine $F$-Zylindermenge.

Man nennt $B$ die Basis des Zylinders und $f_1,\dots ,f_n$ seine Erzeuger.

Die Familie aller $F$-Zylindermengen notieren wir mit $𝒵𝓎𝓁(X,F)$, das ist die Menge

$𝒵𝓎𝓁(X,F)=\underset{n}{⨂}{𝔄}_{f_1,\dots ,f_n}=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\bigcup _{f_1,\dots ,f_n,B}{Z}_{f_1,\dots ,f_n,B},$

wobei ${𝔄}_{f_1,\dots ,f_n}$ σ-Algebren sind. Diese ist im Allgemeinen nur eine Algebra und wird zylindrische Algebra genannt. Die kleinste σ-Algebra, die $𝒵𝓎𝓁(X,F)$ enthält, ist die σ-Algebra

$ℰ(X,F):=\sigma (F)=\sigma (𝒵𝓎𝓁(X,F))$

und wird zylindrische σ-Algebra oder auch $F$-zylindrische σ-Algebra genannt. Weiter gilt

$ℰ(X,F)\subseteq ℬ(X).$

Schreibt man nur $ℰ(X),$ dann meint man in der Regel einfach die σ-Algebra aller Zylindermengen von $X$.

Wichtiger Spezialfall

Der wichtigste Spezialfall ist wenn $X$ ein lokalkonvexer Raum und $X^{\prime }$ der topologische Dualraum ist. Die zylindrische σ-Algebra $ℰ(X,X^{\prime })$ ist gerade die kleinste σ-Algebra, so dass alle stetigen linearen Funktionale messbar sind.

Oder in anderen Worten, die σ-Algebra wird durch die Mengen der Form

$\{x\in X:f(x)<c\}$

mit $f\in X^{\prime }$ und $c\in ℝ$ erzeugt.

Vergleich zu anderen σ-Algebren

Im Allgemeinen gilt

$ℰ(X,F)\subseteq {ℬ}_0(X)\subseteq ℬ(X),$

wobei ${ℬ}_0(X)$ die bairesche σ-Algebra ist.

Ist zum Beispiel $X={ℝ}^T$ und $T$ überabzählbar, dann gilt $ℰ(X,F)<ℬ(X)$.

Für den topologischen Dualraum gilt

$ℰ(X^{\prime },X)\subseteq ℰ(X^{\prime },X^{″})\subseteq ℬ(X^{\prime }).$

Seien $X$ und $Y$ zwei lokalkonvexe Räume. Dann gilt im Allgemeinen für nicht separable Räume und die borelsche σ-Algebra $ℬ(X)\otimes ℬ(Y)\subset ℬ(X\times Y)$, deshalb kann es passieren, dass die Vektoraddition bezüglich $ℬ(X)\otimes ℬ(Y)$ nicht messbar ist. Für die zylindrische σ-Algebra gibt es solche messbaren Probleme nicht, denn es gilt $ℰ(X,X^{\prime })\otimes ℰ(Y,Y^{\prime })=ℰ(X\times Y,X^{\prime }\times Y^{\prime })$.

Gleichheit zur borelschen σ-Algebra

• Ein Lindelöf-Raum $X$ heißt erblich, wenn jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist. Sei $X$ ein lokalkonvexer Raum, der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist. Dann gilt folgende Gleichheit

$ℰ(X,X^{\prime })=ℬ(X).$

• Ist $X$ ein separabler Fréchet-Raum (insbesondere jeder separable Banach-Raum) und $\mathrm{\Gamma }\subseteq X^{\prime }$ eine Menge, welche die Punkte in $X$ trennt (d. h. für jedes $x\ne 0$ existiert ein $f\in \mathrm{\Gamma }$ mit $f(x)\ne 0$), so gilt

$ℰ(X,\mathrm{\Gamma })=ℬ(X).$

Insbesondere gilt wegen des Satzes von Hahn-Banach für einen separablen Fréchet-Raum

$ℰ(X,X^{\prime })=ℬ(X).$

• Ist $X$ ein polnischer Raum und $\mathrm{\Gamma }\subseteq X^{\prime }$ eine Menge, welche die Punkte in $X$ trennt, so gilt auch Gleichheit

$ℰ(X,X^{\prime })=ℬ(X).$

Gleichheit zur baireschen σ-Algebra

Es gilt

${ℬ}_0(X)=ℰ(X,C_b(X,ℝ)),$

wobei $C_b(X,ℝ)$ der Raum der stetigen und beschränkten Funktionen ist.

Literatur

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Siehe auch

• Zylindrisches Maß