Thurston-Norm

In der niedrigdimensionalen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Thurston-Norm eine Norm auf der 2. Homologie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, welche die Komplexität der die Homologieklasse repräsentierenden Flächen misst.

Sei $M$ eine kompakte, orientierte 3-Mannigfaltigkeit und $\varphi \in H^1(M;\mathbb{Z})=H_2(M,\partial M;Z)$ eine Kohomologieklasse. Wir definieren die Thurston-Norm von $\varphi$ durch

$x(\varphi )=\min \{x(S):S\text{ repräsentiert }\varphi \}$,

wobei $S$ alle die Homologieklasse $\varphi$ repräsentierenden Flächen durchläuft und die Komplexität der in Zusammenhangskomponenten zerlegten Fläche $S=S_1\cup \dots \cup S_k$ durch

$x(S)=-\sum _{i:S_i=S^2,D^2}\chi (S_i)$

definiert ist, wobei $\chi (S_i)$ die Euler-Charakteristik der Zusammenhangskomponente bezeichnet. Die so auf der ganzzahligen Kohomologie definierte Thurston-Norm hat die Eigenschaften

• $x(n\varphi )=\mid n\mid x(\varphi )$ für $n\in \mathbb{Z}$
• $x({\varphi }_1+{\varphi }_2)\le x({\varphi }_1)+x({\varphi }_2)$

und kann deshalb zu einer Halbnorm auf $H^1(M;ℝ)$ fortgesetzt werden, die als Thurston-Norm bezeichnet wird. (Sie ist gleich der Hälfte der Gromov-Norm.)Ihre Einheitskugel bezeichnet man als Thurston-Norm-Kugel. Thurston bewies, dass es sich um ein Polytop mit Ecken in $H^1(M;\mathbb{Q})=H_2(M,\partial M;\mathbb{Q})$ handelt.

Eine Kohomologieklasse $\pi \in H^1(M;\mathbb{Z})=Hom({\pi }_{1}M,\mathbb{Z})$ heißt gefasert, wenn es eine Faserung $p:M\to S^1$ mit $p_{*}=\varphi$ gibt. Eine rationale Kohomologieklasse $\varphi \in H^1(M;\mathbb{Q})$ heißt gefasert, wenn es ein rationales Vielfaches in $H^1(M;\mathbb{Z})$ gibt, das eine gefaserte Kohomologieklasse ist. Eine Kohomologieklasse $\varphi \in H^1(M;ℝ)$ heißt gefasert, wenn sie in De-Rham-Kohomologie durch eine nicht ausgeartete Differentialform repräsentiert werden kann. Thurston bewies, dass gefaserte Kohomologieklassen zum Kegel über einer offenen top-dimensionalen Randfläche der Thurston-Norm-Kugel gehören, und dass dann jede andere Komologieklasse in diesem Kegel ebenfalls gefasert ist.

Literatur

• William Thurston: A norm for the homology of 3-manifolds. Mem. AMS 59, 99-130 (1986)