UMD-Raum

Ein UMD-Raum (von Vorlage:EnS) ist in der Funktionalanalysis und der stochastischen Analysis ein Banach-Raum, in dem alle Martingal-Differenzenfolgen eines beliebigen endlichen Martingals unbedingt konvergente Reihen sind. Solche Räume besitzen viele der guten Eigenschaften eines Hilbert-Raumes und Martingal-Differenzfolgen teilen Eigenschaften von orthogonalen Folgen. Man sagt, dass Banach-Räume die UMD-Eigenschaft besitzen, wenn sie UMD-Räume sind.

Der Begriff wurde von den französischen Mathematiker Bernard Maurey und Gilles Pisier eingeführt. Motivation war es, eine genügend große Klasse von Banach-Räumen zu finden, so dass auch klassische Banach-Räume wie die L^p-Räume für $1<p<\mathrm{\infty }$ enthalten sind, die Räume sich aber trotzdem wie Hilbert-Räume verhalten, deshalb lassen sich viele der Aussagen für Hilbert-Räume direkt auf UMD-Räume übertragen. Obwohl der UMD-Raum eine probabilistische Definition hat, stellt sich heraus, dass die UMD-Eigenschaft zu einigen analytischen Eigenschaften äquivalent ist, wie zum Beispiel, dass die Hilbert-Transformation auf $L^p$ beschränkt ist.

Um den Begriff des UMD-Raumes zu definieren, führt man zuerst den UMD${}_p$-Raum für ein $p\in (1,\mathrm{\infty })$ ein. Ein tiefes Resultat von Maurey und Pisier sagt dann, dass ein Banach-Raum, der ein UMD${}_p$-Raum für ein bestimmtes $p$ ist, auch ein UMD${}_q$-Raum für alle anderen $q\in (1,\mathrm{\infty })$ ist. Deshalb spricht man häufig nur von UMD-Räumen.

Mit Hilfe von UMD-Räumen lässt sich die Itô-Isometrie auf Banach-Räume erweitern und folglich ergibt sich eine Theorie der stochastischen Integration bezüglich einer brownschen Bewegung für Banach-wertige Zufallsvariablen.

UMD-Raum

Sei $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration $𝔽$ und $(E,\Vert \cdot {\Vert }_E)$ ein Banach-Raum. Mit $X\in L^p(\mathrm{\Omega },E)$ meinen wir $𝔼[\Vert X{\Vert }_E^p]<\mathrm{\infty }$.

Grundbegriffe

• Eine Reihe $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ heißt unbedingt konvergent falls für jede Folge ${\left({\epsilon }_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ mit ${\epsilon }_n\in \{-1,+1\},$ die Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }_n{x}_n$

konvergiert.

• Sei $(M_n{)}_{n\in N}$ ein $E$-wertiges $𝔽$-adaptiertes Martingal. $(M_n{)}_{n\in N}$ ist ein $L^p$-Martingal, falls $M_n\in L^p(\mathrm{\Omega },E)$ für alle $n$, das bedeutet

$\max {\mathrm{\backslash limits}}_{n\in \mathbb{N}}𝔼[\Vert M_n{\Vert }_E^p]<\mathrm{\infty }$.

• Für ein Martingal $(M_n{)}_{n\in N}$ ist die Martingal-Differenzfolge $(d{M}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert als

$d{M}_n:=M_n-M_{n-1}$

mit $M_0=0$. Ist $(M_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ein $L^p$-Martingal, dann nennt man $(d{M}_n{)}_{n\in N}$ eine $L^p$-Martingal-Differenzfolge.

Definition

Sei $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge mit ${\epsilon }_n\in \{-1,1\}$ für alle $n\in \mathbb{N}$.

Ein Banach-Raum $E$ ist ein UMD_p-Raum, falls für ein $p\in (1,\mathrm{\infty })$ eine Konstante $\beta$ existiert, so dass für alle $E$-wertigen $L^p$-Martingale-Differenzfolgen $(d{M}_n{)}_{n=1}^N$ mit $N\in \mathbb{N}$ und alle $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ die folgende Ungleichung gilt

$𝔼[\Vert \sum _{n=1}^N{\epsilon }_{n}d{M}_n{\Vert }_E^p]\le {\beta }^p𝔼[\Vert \sum _{n=1}^{N}d{M}_n{\Vert }_E^p].$

Erläuterungen

• Die in der Gleichung benützte Norm ist die Norm von $E$. Analog lässt sich die Gleichung auch mittels der $L^p$-Norm $\Vert X{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega },E)}=𝔼[\Vert X{\Vert }_E^p{]}^{1/p}$ schreiben.
• Die $(d{M}_n)$ bilden eine unbedingt konvergente Basis in $L^p$.
• Ersetzt man $d{M}_n$ mit ${\epsilon }_{n}d{M}_n$ erhält man die Umgekehrte-Gleichung

$𝔼[\Vert \sum _{n=1}^{N}d{M}_n{\Vert }_E^p]\le {\beta }^p𝔼[\Vert \sum _{n=1}^N{\epsilon }_{n}d{M}_n{\Vert }_E^p].$

• Der Wahrscheinlichkeitsraum lässt sich durch einen beliebigen σ-endlichen Raum ersetzen.

p-Unabhängigkeit

Falls $X$ ein UMD${}_p$-Raum für ein $p\in (1,\mathrm{\infty })$ ist, dann ist $X$ auch ein UMD${}_q$-Raum für alle $q\in (1,\mathrm{\infty })$.

Eigenschaften

• Alle UMD-Räume sind reflexiv. Sie sind sogar super-reflexiv.
• Alle UMD-Räume sind K-konvex.

Beziehung zu singulären Integraloperatoren

Eine rein analytische Charakterisierung der UMD-Räume über die Hilbert-Transformation stammt von Burkholder () und Bourgain (). Es sei $E$ ein beliebiger UMD-Raum und $𝕋$ der Torus. Dann bewiesen sie, dass die UMD${}_p$-Räume gerade diejenigen Räume sind, auf denen

• die Hilbert-Transformation auf $L^p(ℝ,E)$ beschränkt ist,
• die Riesz-Projektion auf $L^p(𝕋,E)$ beschränkt ist,

und somit sind sie auch für alle $p\in (1,\mathrm{\infty })$ beschränkt.

Existenz einer symmetrischen, bikonvexen Funktion

Folgendes ist äquivalent:

1. $X$ ist ein UMD-Raum
2. Es existiert eine symmetrische, bikonvexe Funktion $\zeta$ auf $X\times X$, so dass $\zeta (0,0)>0$ und $\zeta (x,y)\leqq \Vert x+y{\Vert }_E$ falls $\Vert x{\Vert }_E\le 1\le \Vert y{\Vert }_E$

Beispiele

Folgende Räume sind u. a. UMD-Räume:

• alle endlich-dimensionalen Räume
• alle Hilbert-Räume
• die $L^p$-Räume für $1<p<\mathrm{\infty }$
• die Sobolew-Räume für $1<p<\mathrm{\infty }$
• die Schatten-Klassen für $1<p<\mathrm{\infty }$
• reflexive Besov-Räume
• reflexive Birnbaum-Orlicz-Räume

Räume ohne UMD-Eigenschaft

• Alle nicht-reflexiven Räume ($L^1(S)$, $C(S)$ usw. für ein σ-endlicher Raum $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$)

Literatur

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