Wright-Omega-Funktion

Die Wright-Omega-Funktion entlang der realen Achse

In der Mathematik ist die Wright-Omega-Funktion, auch Wright-Funktion genannt, geschrieben als ω, definiert über die Lambertsche W-Funktion:

$\omega (z)=W_{\lceil \frac{\mathrm{I}\mathrm{m}(z)-\pi }{2\pi }\rceil }(e^z).$

Verwendungen

Eine der Hauptanwendungen dieser Funktion ist die Auflösung der Gleichung z = ln(z), da die einzige Lösung durch z = e^−ω(π i) gegeben ist.

y = ω(z) ist einer der Lösungen, wenn $z\ne x\pm i\pi$ für x ≤ −1, der Gleichung y + ln(y) = z. Die Wright-Omega-Funktion ist auf allen Zweigen außer zweien stetig und gerade analytisch.

Eigenschaften

Die Wright-Omega-Funktion erfüllt die Relation $W_k(z)=\omega (\ln (z)+2\pi ik)$.

Sie erfüllt auch die Differentialgleichung

$\frac{d\omega }{dz}=\frac{\omega }{1+\omega }$

immer dann wenn ω analytisch ist (wie leicht erkannt werden kann mit der Trennung der Variablen und dem erhalten der Gleichung $\ln (\omega )+\omega =z$) und daraus folgt die Konsequenz, dass ihr Integral so geschrieben werden kann:

$\int w^{n}dz=\{\begin{array}{cc}\frac{{\omega }^{n+1}-1}{n+1}+\frac{{\omega }^n}{n}& \text{wenn }n\ne -1,\\ \ln (\omega )-\frac{1}{\omega }& \text{wenn }n=-1.\end{array}$

Die Taylorreihenentwicklung um den Punkt $a={\omega }_a+\ln ({\omega }_a)$ hat die Form:

$\omega (z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{q_n({\omega }_a)}{(1+{\omega }_a{)}^{2n-1}}\frac{(z-a{)}^n}{n!}$

wobei

$q_n(w)=\sum _{k=0}^{n-1}⟨⟨\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}⟩⟩(-1{)}^k{w}^{k+1}$

in welcher

$⟨⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩⟩$

die Euler-Zahl zweiter Ordnung ist.

Spezielle Werte

$\begin{array}{ccc}\omega (0)& =W_0(1)& \approx 0.56714\\ \omega (1)& =1& \\ \omega (-1\pm i\pi )& =-1& \\ \omega (-\frac{1}{3}+\ln \left(\frac{1}{3}\right)+i\pi )& =-\frac{1}{3}& \\ \omega (-\frac{1}{3}+\ln \left(\frac{1}{3}\right)-i\pi )& =W_{-1}(-\frac{1}{3}{e}^{-\frac{1}{3}})& \approx -2.237147028\end{array}$

Graphische Darstellungen

• Graphische Darstellungen der Wright-Omega-Funktion auf der komplexen Ebene
• 
  z = Re(ω(x + i y))
• 
  z = Im(ω(x + i y))
• 
  ω(x + i y)

Weblinks

• "On the Wright ω function", Robert Corless und David Jeffrey