Theta-Operator (Teichmüller-Theorie)

In der Mathematik, speziell in der Teichmüller-Theorie bezeichnet man als Theta-Operator einen Operator, dessen Kontraktionseigenschaften eine wesentliche Rolle im Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten spielen.

Definition

Sei $\pi :Y\to X$ eine Überlagerung Riemannscher Flächen. Seien $\mathrm{\Omega }(Y),\mathrm{\Omega }(X)$ die Banach-Räume der holomorphen quadratischen Differentiale und sei $\varphi \in \mathrm{\Omega }(Y)$. Für jede eingebettete Kreisscheibe $U\subset X$ ist die Überlagerung ${\pi }^{-1}(U)\to U$ trivial, für jede Zusammenhangskomponente $V_i\subset {\pi }^{-1}(U)$ hat man also einen Schnitt $s_i:U\to V_i$. In einer holomorphen Karte für $V_i$ ist $\varphi {\mid }_{V_i}={\varphi }_{i}d{z}^2$ und die Reihe $\sum _i{\varphi }_i\circ s_i(u)(s_i^{\prime }(u){)}^2$ ist absolut konvergent auf kompakten Teilmengen von $U$, definiert dort also eine holomorphe Funktion, welche unter Kartenwechseln wie ein holomorphes quadratisches Differential transformiert, also ein Element aus $\mathrm{\Omega }(X)$ definiert. Der so definierte Operator

$\mathrm{\Theta }={\mathrm{\Theta }}_{Y/X}:\mathrm{\Omega }(Y)\to \mathrm{\Omega }(X)$

ist der zu der Überlagerung $\pi :Y\to X$ assoziierte Theta-Operator.

Norm des Theta-Operators

Es gilt offensichtlich $\Vert \mathrm{\Theta }\Vert \le 1$ für die Operatornorm des Theta-Operators. McMullen bewies die strikte Ungleichung $\Vert \mathrm{\Theta }\Vert <1$. Verbesserte Abschätzungen der Operatornorm wurden von Barrett-Diller und Cremaschi-Dello Schiavo bewiesen.

Anwendung

Aus McMullens Ungleichung $\Vert \mathrm{\Theta }\Vert <1$ folgt, dass die Skinning-Abbildung $\sigma$ einer geometrisch endlichen hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit eine Kontraktion ist und damit für jeden Diffeomorphismus $\tau$ nach dem Fixpunktsatz von Banach ${\tau }^{*}\circ \sigma$ einen Fixpunkt im Teichmüller-Raum hat. Dieser erlaubt die Konstruktion einer hyperbolische Struktur auf der durch Verkleben mittels $\tau$ entstandenen 3-Mannigfaltigkeit und damit einen Induktionsbeweis für die Hyperbolisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten, für den William Thurston 1982 die Fields-Medaille erhielt.

Literatur

• J.-P. Otal: Thurston’s hyperbolization of Haken manifolds. Hsiung, C. C. (ed.) et al., Surveys in differential geometry. Vol. III. A supplement to the Journal of Differential Geometry. Lectures on geometry and topology in honor of the 80th birthday of Chuan-Chih Hsiung, Harvard University, Cambridge, MA, USA, May 3-5, 1996. Boston, MA: International Press. 77-194 (1998).