Dupont-Kozykel

In der Mathematik dient der Dupont-Kozykel, benannt nach Johan Dupont, zur Konstruktion der beschränkten Kähler-Klasse und damit zur Untersuchung der Darstellungen in Isometriegruppen Hermitescher symmetrischer Räume.

Sei $X=H/K$ ein Hermitescher symmetrischer Raum mit Kähler-Form $\omega$. Die hermitesche Metrik sei so normiert, dass das Minimum der holomorphen Schnittkrümmung $-1$ ist.

Für $x\in X$ und $g_0,g_1,g_2\in H$ bezeichnen wir mit $\mathrm{\Delta }(g_{0}x,g_{1}x,g_{2}x)$ einen $2$-Simplex mit geodätischen Seiten und Ecken $g_{0}x,g_{1}x,g_{2}x$. Die Seiten sind durch die Ecken eindeutig festgelegt, das Innere im Allgemeinen nicht. Jedoch gibt nach dem Satz von Stokes Integration einer geschlossenen Form über jeden $2$-Simplex mit diesen Seiten denselben Wert. Das Integral

$b(g_0,g_1,g_2)=\underset{\mathrm{\Delta }(g_{0}x,g_{1}x,g_{2}x)}{\int }\omega$

ist also wohl-definiert. Es definiert einen stetigen $H$-invarianten Kozykel, der von $x$ abhängt und als Dupont-Kozykel bezeichnet wird. Seine Kohomologieklasse ist jedoch unabhängig von $x\in X$.

Für die $l^{\mathrm{\infty }}$-Norm gilt $\Vert b\Vert =\pi \cdot rank(X)$, insbesondere handelt es sich um einen beschränkten Kozykel. Er definiert also eine Klasse in der beschränkten Kohomologie $H_b^2(H;ℝ)$ und sogar in der beschränkten stetigen Kohomologie $H_{bc}^2(H;ℝ)$. Diese Kohomologieklasse wird als beschränkte Kähler-Klasse $\kappa$ bezeichnet.

Wenn $X$ irreduzibel ist, dann ist $H_{bc}^2(H;ℝ)=ℝ$ und die beschränkte Kähler-Klasse erzeugt diese Gruppe. Ein Beispiel ist die hyperbolische Ebene, hier ist $H=PU(1,1)=PSL(2,ℝ)$ und die beschränkte Kähler-Klasse ist $\pi$ mal die beschränkte Euler-Klasse.

Die beschränkte Kähler-Klasse dient der Unterscheidung von Darstellungen in $H$. Zum Beispiel für eine Flächengruppe $\mathrm{\Gamma }={\pi }_{1}S$ kann man jeder Darstellung $\rho :\mathrm{\Gamma }\to H$ die durch Auswertung von ${\rho }^{*}\kappa \in H_b^2(\mathrm{\Gamma };ℝ)=H_b^2(S;ℝ)$ auf der Fundamentalklasse $\left[S\right]\in H_2(S;ℝ)$ definierte numerische Invariante zuordnen. Allgemeiner gilt für eine endlich erzeugte Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ und $H=PU(p,q),1\le p<q$, dass für eine Zariski-dichte Darstellung ${\rho }^{*}\kappa \in H_b^2(\mathrm{\Gamma };ℝ)$ nicht Null ist und die Zariski-dichte Darstellung bis auf Äquivalenz durch ${\rho }^{*}\kappa \in H_b^2(\mathrm{\Gamma };ℝ)$ festgelegt wird.

Literatur

• M. Burger, A. Iozzi: Bounded Kähler class rigidity of actions on Hermitian symmetric spaces. Ann. Sci. ENS 37, 77-103, 2004
• J. L. Clerc, B. Ørsted: The Gromov norm of the Kähler class and the Maslov index. Asian J. Math. 7, 269-295, 2003
• A. Domic, D. Toledo: The Gromov norm of the Kähler class of symmetric domains. Math. Ann. 276, 425-432, 1987
• J. Dupont: Bounds for characteristic numbers of flat bundles. Algebraic topology, AArhus 1987. Lecture Notes in Mathematics 763, Springer-Verlag, 1979