Meixner-Polynome

Die Meixner-Polynome sind diskrete orthogonale Polynome. Sie sind nach dem deutschen Physiker Josef Meixner benannt. Sie sind gerade orthogonal bezüglich der negativen Binomialverteilung.

Meixner-Polynome

Notation:

Für $n>0$ definiere das Pochhammer-Symbol

$(a{)}_n=a(a+1)\cdots (a+n-1),$

und definiere die Gaußsche hypergeometrische Funktion

${}_2{F}_1\left(\begin{array}{c}{a}_1,a_2\\ b\end{array}\right|c):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1{)}_n(a_2{)}_n}{(b{)}_n}\frac{c^n}{n!}.$

Definition

Die Meixner-Polynome $M_n(x;\beta ,c)$ sind definiert als

$M_n(x;\beta ,c)={}_2{F}_1\left(\begin{array}{c}-n,-x\\ \beta \end{array}\right|1-\frac{1}{c}).$

Für $\beta >0$ und $0<c<1$ sind sie orthogonal auf ${\mathbb{N}}_0$ bezüglich der Gewichtsfunktion

$w(x;\beta ,c)=\frac{(\beta {)}_x}{x!}{c}^x,x=0,1,2,\dots ,$

das heißt

$\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n(x;\beta ,c)M_m(x;\beta ,c)\frac{(\beta {)}_x}{x!}{c}^x=\frac{n!(1-c{)}^{-\beta }}{c^n(\beta {)}_n}{\delta }_{mn}$

Eigenschaften

Drei-Term-Rekursion

Die Meixner-Polynome genügen folgender Drei-Term-Rekursion

$-x{M}_n(x;\beta ,c)=\frac{c(\beta +n)}{1-c}{M}_{n+1}(x;\beta ,c)-\frac{n+c(\beta +n)}{1-c}{M}_n(x;\beta ,c)+\frac{n}{1-c}{M}_{n-1}(x;\beta ,c).$

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion ist

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\beta {)}_n}{n!}{M}_n(x;\beta ,c)t^n=(1-t/c{)}^x(1-t{)}^{-x-\beta }.$

Grenzwertverhalten

Beziehung zu den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen

Es gilt

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{c\to 1^{-}}{M}_n(x/(1-c);\alpha +1,c)=\frac{n!}{(\alpha +1{)}_n}{L}_n^{(\alpha )}(x).$

wobei $L_n^{(\alpha )}(x)$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind.

Beziehung zu den Charlier-Polynomen

Es gilt

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\beta \to \mathrm{\infty }}{M}_n(x;\beta ,a/(\beta +a))=C_n(x;a),$

wobei

$C_n(x;a):={}_2{F}_0\left(\begin{array}{c}-n,-x\\ -\end{array}\right|-\frac{1}{a})$

Charlier-Polynome genannt werden.

Literatur

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