Straffe Kontaktstruktur

In der Mathematik sind straffe Kontaktstrukturen (englisch: tight contact structure) ein Begriff aus der Kontaktgeometrie. Der Begriff geht auf Eliashberg zurück. In der $3$-dimensionalen Kontaktgeometrie hat man eine fundamentale Dichotomie zwischen straffen und überdrehten Kontaktstrukturen.

Definition

Eine Kontaktstruktur auf einer 3-Mannigfaltigkeit heißt straff, wenn es in der Mannigfaltigkeit keine überdrehten Kreisscheiben gibt, also keine eingebetteten Kreisscheiben, deren Rand ein Legendre-Knoten ist und die entlang des Randes transversal zur Kontaktstruktur sind.

Mit anderen Worten: Kontaktstrukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten sind straff, falls sie nicht „überdreht“ (englisch: overtwisted) sind. Sie sind überdreht, falls die Kontaktstruktur eine überdrehte Kreisscheibe enthält.

Beispiele

Die Standard-Kontaktstruktur $dz-xdy=0$ auf ${ℝ}^3$.

• Die Standard-Kontaktstruktur mit Kontaktform $\alpha =dz-xdy$ auf dem ${ℝ}^3$ ist straff.
• Die durch die Kontaktformen ${\alpha }_n=\cos (n\theta )dx-\sin (n\theta )dy$ auf dem Volltorus $S^1\times {ℝ}^2$ gegebenen Kontaktstrukturen ${\xi }_n$ sind straff.
• Straffheitssatz von Gromov-Eliashberg: Wenn eine Kontaktstruktur symplektisch füllbar ist, dann ist sie straff. Zum Beispiel ist die durch $\alpha =xdy-ydx+zdw-wdz$ auf $S^3\subset {ℝ}^4$ gegebene Standard-Kontaktstruktur der 3-Sphäre straff.
• Kontaktüberlagerungslemma: Wenn $(M,{\xi }^{\prime })\to (M,\xi )$ eine Kontaktüberlagerung und ${\xi }^{\prime }$ straff ist, dann ist auch $\xi$ straff. Zum Beispiel sind die durch ${\alpha }_n=\cos (n\theta )dx-\sin (n\theta )dy$ auf dem 3-Torus $T^3=S^1\times S^1\times S^1$ gegebenen Kontaktstrukturen ${\xi }_n$ straff.

Klassifikationen

• Auf ${ℝ}^3$ und $S^3$ ist die Standard-Kontaktstruktur die einzige straffe, positive Kontaktstruktur.
• Auf $T^3$ liefern die ${\xi }_n$ eine vollständige Liste straffer Kontaktstrukturen.
• Die Poincaré-Homologiesphäre mit umgekehrter Orientierung trägt keine straffe, positive Kontaktstruktur.
• Die zusammenhängende Summe $P^2ℝ\mathrm{♯}{P}^2ℝ$ trägt keine straffe Kontaktstruktur.

Literatur

• H. Geiges: Contact Topology, Cambridge University Press 2008
• H. Geiges: Contact geometry, in: F. J. E. Dillen, L.C.A. Verstraelen (Hrsg.), Handbook of Differential Geometry, Band 2, North-Holland, Amsterdam, 2006, S. 315–382, Arxiv (Abschnitt 3.6 Tight and Overtwisted)