Weil-Restriktion

Die Weil-Restriktion (auch Weils Restriktion der Skalare) bezeichnet in der algebraischen Geometrie ein $S$-Schema, welches aus einem $S^{\prime }$-Schema und einem Morphismus von Schemata $S^{\prime }\to S$ entstand.

Häufig interessiert man sich für den Fall, wenn $S^{\prime }\to S$ eine endliche Körpererweiterung $L/K$ ist. Die Weil-Restriktion ist verwandt mit dem Konzept Restriktion der Skalare und nach André Weil benannt.

Weil-Restriktion

Grundbegriffe

Fixiere ein Schema $S$, ein Schema $X$ ausgestattet mit einem Morphismus $f:X\to S$ nennt man ein $S$-Schema. Alle Schemata über einem fixierten Schema $S$ bilden die Kategorie $𝐒𝐜𝐡/𝐒$.

Sei $𝒞$ eine Kategorie, dann bezeichnet ${𝒞}^{op}$ ihre duale Kategorie.

Definition

Sei $h:S^{\prime }\to S$ ein Morphismus von Schemata. Für ein $S^{\prime }$-Schema $X$ betrachte den kontravarianten Funktor

${\mathrm{Res}}_{S^{\prime }/S}(X):{𝐒𝐜𝐡/𝐒}^{op}\to 𝐒𝐞𝐭,T\mapsto {\mathrm{Hom}}_{S^{\prime }}(T{\times }_S{S}^{\prime },X).$

Falls der Funktor darstellbar ist, dann heißt das dazugehörige $S$-Schema, welches auch mit ${\mathrm{Res}}_{S^{\prime }/S}(X)$ notiert wird, die Weil-Restriktion von $X$ bezüglich $h$.