Goldene Ellipse

Eine Goldene Ellipse ist eine Ellipse, bei der das Seitenverhältnis ihrer beiden Halbachsen $a$ und $b$ dem Goldenen Schnitt entspricht.

Äquivalente Charakterisierung

Gegeben seien ein Kreisring mit äußerem Radius $a$ und innerem Radius $b$ sowie eine Ellipse mit großer Halbachse $a$ und kleiner Halbachse $b$, wobei $a$ und $b$ positive reelle Zahlen sind.

Dann entspricht das Verhältnis $\frac{a}{b}$ genau dann dem Goldenen Schnitt $\mathrm{\Phi }$, wenn der Kreisring und die Ellipse flächengleich sind.

Der Beweis ergibt sich aus folgender Äquivalenzkette:

$\pi a^2-\pi b^2=\pi ab\iff a^2-ba-b^2=0\iff a=\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}+b^2}\iff a=\frac{1}{2}(1\pm \sqrt{5})\cdot b$

Da nur die positive Lösung infrage kommt, folgt nach Division durch $b$:

$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\mathrm{\Phi }$

Beziehung zum Goldenen Rechteck

Die Goldene Ellipse kann einem Goldenen Rechteck mit den Seitenlängen $2a$ und $2b$ einbeschrieben werden.

Literatur

• Anthony David Rawlins: A note on the golden ratio. Mathematical Gazette, 79, (1995), Seite 104

Weblinks

• Daniel Favre Golden ratio (Sectio Aurea) in the Elliptical Honeycomb ResearchGate, Januar 2016
• Tadeusz E. Dorozinski: Goldene Ellipse auf 3doro.de, abgerufen am 30. September 2022