Kohomologie mit Koeffizienten

In der Mathematik ist Kohomologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Kohomologietheorien.

Definition

Sei

0 \leftarrow K_{0} \leftarrow K_{1} \leftarrow K_{2} \leftarrow K_{3} \leftarrow \dots

ein Kettenkomplex und $G$ eine abelsche Gruppe. Als Kohomologie mit Koeffizienten in $G$ bezeichnet man die Homologie des Kokettenkomplexes

0 \to Hom (K_{0}, G) \to Hom (K_{1}, G) \to Hom (K_{2}, G) \to Hom (K_{3}, G) \to \dots

.

Für $G = ℤ$ erhält man die Kohomologie des Kettenkomplexes.

Für einen topologischen Raum $X$ bezeichnet man mit $H^{*} (X, G)$ die Kohomologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$ . Für $G = ℤ$ erhält man die singuläre Kohomologie.

Für einen Simplizialkomplex $S$ bezeichnet man mit $H^{*} (S, G)$ die Kohomologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$ . Für $G = ℤ$ erhält man die simpliziale Kohomologie.

Sei $K$ der Kettenkomplex

0 \to ℤ \to ℤ \to ℤ \to ℤ \to 0

,

wobei die mittlere Abbildung $f (x) = 2 x$ und alle anderen Abbildungen konstant $0$ seien. Die Homologiegruppen sind

H_{0} (K) = ℤ, H_{1} (K) = ℤ / 2 ℤ, H_{2} (K) = 0, H_{3} (K) = ℤ

.

Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in $ℤ$ sind

H^{0} (K) = ℤ, H^{1} (K) = 0, H^{2} (K) = ℤ / 2 ℤ, H^{3} (K) = ℤ

.

Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in $ℤ / 2 ℤ$ sind

H^{0} (K, ℤ / 2 ℤ) = ℤ / 2 ℤ, H^{1} (K, ℤ / 2 ℤ) = ℤ / 2 ℤ, H^{2} (K, ℤ / 2 ℤ) = ℤ / 2 ℤ, H^{3} (K, ℤ / 2 ℤ) = ℤ / 2 ℤ

.

Die Kohomologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes, nach dem

0 \to {Ext}_{ℤ}^{1} (H_{n - 1} (X), G) \to H^{n} (X; G) \to Hom (H_{n} (X), G) \to 0

eine kurze exakte Folge ist, berechnet werden.

A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 0-521-79540-0/pbk) 2002.