L-Funktion einer elliptischen Kurve

In der Mathematik ist die L-Funktion einer elliptischen Kurve oder Hasse-Weil-Zeta-Funktion ein wichtiges Werkzeug der Zahlentheorie.

Definition

Sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb{Q}$. Für eine Primzahl $p$ definieren wir den lokalen Faktor $L_p(T)$ der L-Reihe in $p$ wie folgt.

Wenn $E$ modulo $p$ gute Reduktion hat, sei $N_p$ die Anzahl der Punkte in $E(F_p)$ und $a_p=p+1-N_p$. Wir definieren dann

$L_p(T)=1-a_{p}T+p{T}^2$.

Weiter definieren wir

$L_p(T)=1-T$, wenn $E$ modulo $p$ spaltende semistabile Reduktion hat,

$L_p(T)=1+T$, wenn $E$ modulo $p$ nicht-spaltende semistabile Reduktion hat,

$L_p(T)=1$, wenn $E$ modulo $p$ instabile Reduktion hat.

Die L-Reihe der elliptischen Kurve wird dann als Produkt über die lokalen Faktoren definiert:

$L(E,s)=\prod _{p\text{Primzahl}}\frac{1}{L_p(p^{-s})}$

Aus der von Hasse bewiesenen Ungleichung $|a_p|\le 2\sqrt{p}$ folgt Konvergenz und Analytizität von $L(E,s)$ für $\mathrm{Re}(s)>\frac{3}{2}$.

Beispiele

• $y^2+y=x^3-x^2-10x-20$

Die Gleichung beschreibt ein minimales Modell mit Diskriminante $-11^5$. Die einzige Primzahl schlechter Reduktion ist $p=11$, dort ist die Reduktion spaltend semistabil. Also ist

$L(E,s)=\frac{1}{1-11^{-s}}\prod _{p=11\text{Primzahl}}\frac{1}{1-a_p{p}^{-s}+p^{1-2s}}=$

$=1-\frac{2}{2^s}-\frac{1}{3^s}+\frac{2}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{2}{6^s}-\frac{2}{7^s}-\frac{2}{9^s}-\frac{2}{10^s}+\frac{1}{11^s}+\cdots$.

• $y^2=x^3-11x^2+385$

Die Kurve hat instabile Reduktion in $2$ und $11$, spaltende semistabile Reduktion in $5$ und nicht-spaltende semistabile Reduktion in $7$ und $461$. Damit ist

$L(E,s)={((1-5^{-s})(1+7^{-s})(1+461^{-s}))}^{-1}\prod _{p=2,5,7,11,461\text{Primzahl}}\frac{1}{1-a_p{p}^{-s}+p^{1-2s}}=$

$=1-\frac{2}{3^s}+\frac{1}{5^s}-\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{2}{13^s}-\frac{2}{15^s}-\frac{5}{17^s}+\frac{2}{21^s}+\cdots$.

Dirichlet-Entwicklung

Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine Entwicklung als Dirichlet-Reihe:

$L(E,s)=\sum _{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s}$,

wobei die Fourier-Koeffizienten $a_n$ wie folgt berechnet werden:

• $a_1=1$.
• Für eine Primzahl $p$ ist
  • $a_p=p+1-N_p$, wenn $E$ gute Reduktion in $p$ hat,
  • $a_p=1$, wenn $E$ spaltende semistabile Reduktion in $p$ hat,
  • $a_p=-1$, wenn $E$ nicht-spaltende semistabile Reduktion in $p$ hat,
  • $a_p=0$, wenn $E$ instabile Reduktion in $p$ hat.
• Für eine Primzahlpotenz $p^r$ ist im Falle guter Reduktion modulo $p$ der Fourier-Koeffizient rekursiv definiert durch $a_p\cdot a_{p^r}=a_{p^{r+1}}+p\cdot a_{p^{r-1}}$, während im Falle schlechter Reduktion $a_{p^r}=(a_p{)}^r$ gilt.
• Für teilerfremde Zahlen $m,n$ gilt $a_{mn}=a_m{a}_n$.

Funktionalgleichung

Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine analytische Fortsetzung auf die gesamte komplexe Zahlenebene und erfüllt mit

$\mathrm{\Lambda }(E,s):=N^{s/2}(2\pi {)}^{-s}\mathrm{\Gamma }(s)L(E,s)$

für den Führer $N$ und die Gamma-Funktion $\mathrm{\Gamma }(s)$ eine Funktionalgleichung

$\mathrm{\Lambda }(E,s)=\mathrm{sign}(E,\mathbb{Q})\mathrm{\Lambda }(E,2-s)$

mit $\mathrm{sign}(E,\mathbb{Q})\in \{1,-1\}$. Diese von Hasse und Weil aufgestellte Vermutung folgt aus dem Modularitätssatz. Aus der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde $\mathrm{sign}(E,\mathbb{Q})=(-1{)}^{\mathrm{rang}(E/\mathbb{Q})}$ folgen.

Literatur

• A. Lozano-Robledo: Elliptic curves, modular forms, and their L-functions. Student Mathematical Library 58. American Mathematical Society (AMS), Providence, RI 2011, ISBN 978-0-8218-5242-2/pbk.