Körperturm

Körperturm ist ein Begriff aus der Algebra. Es handelt sich um mehrere ineinander verschachtelte Körpererweiterungen.

Definition

Ein Körperturm der Höhe $n\in \mathbb{N}$ ist eine Folge von Körpererweiterungen

$K_0\subset K_1\subset \dots \subset K_n$.

Für jedes $j\in \{1,\dots n\}$ soll $K_{j-1}\subset K_j$ eine Körpererweiterung sein. Trotz des verwendeten Inklusionssymbols ist das mehr als eine Teilmengenbeziehung, die Verknüpfungen des Körpers $K_{j-1}$ sollen die Einschränkungen der Verknüpfungen des Körpers $K_j$ sein. Auch bei unendlichen Folgen solcher Körpererweiterungen spricht man von Körpertürmen.

Beispiele und Anwendungen

• $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\subset ℝ\subset ℂ$ ist ein Körperturm.
• Jede Körpererweiterung $K\subset L$ ist ein Körperturm der Höhe 1. Ist $M$ ein Zwischenkörper, so ist $K\subset M\subset L$ ein Körperturm der Höhe 2.
• Ist $K(X_1,\dots ,X_n)$ der Körper der rationalen Funktionen in $n$ Unbestimmten, so ist

$K\subset K(X_1)\subset K(X_1,X_2)\subset \dots \subset K(X_1,\dots ,X_n)$

ein Körperturm. Dieses Beispiel lässt sich zu einem unendlichen Körperturm fortsetzen.

• Eine Körpererweiterung $K\subset L$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es einen Körperturm

$K=K_0\subset K_1\subset \dots \subset K_n=L$

gibt, in dem jede Erweiterung $K_{j-1}\subset K_j$ durch Adjunktion einer $m_j$-ten Wurzel entsteht, das heißt zu jedem $j\in \{1,\dots n\}$ gibt es eine natürliche Zahl $m_j$ und ein Element $b_j\in K_j$ mit $b_j^{m_j}\in K_{j-1}$ und es ist $K_j=K_{j-1}(b_j)$. Solche Radikalerweiterungen spielen eine wichtige Rolle in der Untersuchung der Frage, für welche Polynomgleichungen die Nullstellen durch Formeln aus Körperoperationen und Wurzelziehen in den Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt werden können.

• Der Gradsatz verallgemeinert sich wie folgt auf Körpertürme:

Ist $K_0\subset K_1\subset \dots \subset K_n$ ein Körperturm aus endlichen Körpererweiterungen, so gilt für die Erweiterungsgrade:

$[K_n:K_0]=\prod _{j=1}^n[K_j:K_{j-1}]$.

• Gibt es einen Körperturm

$\mathbb{Q}=K_0\subset K_1\subset \dots \subset K_n\subset ℂ$,

und gilt $[K_j:K_{j-1}]=2$ für alle $j\in \{1,\dots n\}$, so sind alle Punkte der komplexen Ebene, die in einem der $K_j$ liegen, mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Die Elemente der Körper heißen konstruierbare Zahlen.