Pfisters Sechzehn-Quadrate-Identität

In der Algebra ist Pfisters Sechzehn-Quadrate-Identität eine nicht-bilineare Identität der Form

$(x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots +x_{16}^2)\cdot (y_1^2+y_2^2+y_3^2+\cdots +y_{16}^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+\cdots +z_{16}^2$

Nicht-bilineare Identität bedeutet hier, dass es Formeln $z_i=Z_i(x_1,\dots ,x_{16},y_1,\dots y_{16})$ gibt und diese keine bilinearen Abbildungen in den Argumenten $x_1,\dots ,x_{16},y_1,\dots y_{16}$ sind, sondern von etwas komplizierterer Natur, siehe unten.

Angabe der Identität

Diese Identität wurde erstmals von H. Zassenhaus und W. Eichhorn in den 1960ern bewiesen und unabhängig und nahezu zeitgleich von Albrecht Pfister. Es gibt mehrere Versionen, eine kurze und prägnante ist die folgende:

$\begin{array}{ccc}{z}_1& =& x_1{y}_1-x_2{y}_2-x_3{y}_3-x_4{y}_4-x_5{y}_5-x_6{y}_6-x_7{y}_7-x_8{y}_8+u_1{y}_9-u_2{y}_{10}-u_3{y}_{11}-u_4{y}_{12}-u_5{y}_{13}-u_6{y}_{14}-u_7{y}_{15}-u_8{y}_{16}\\ z_2& =& x_2{y}_1+x_1{y}_2+x_4{y}_3-x_3{y}_4+x_6{y}_5-x_5{y}_6-x_8{y}_7+x_7{y}_8+u_2{y}_9+u_1{y}_{10}+u_4{y}_{11}-u_3{y}_{12}+u_6{y}_{13}-u_5{y}_{14}-u_8{y}_{15}+u_7{y}_{16}\\ z_3& =& x_3{y}_1-x_4{y}_2+x_1{y}_3+x_2{y}_4+x_7{y}_5+x_8{y}_6-x_5{y}_7-x_6{y}_8+u_3{y}_9-u_4{y}_{10}+u_1{y}_{11}+u_2{y}_{12}+u_7{y}_{13}+u_8{y}_{14}-u_5{y}_{15}-u_6{y}_{16}\\ z_4& =& x_4{y}_1+x_3{y}_2-x_2{y}_3+x_1{y}_4+x_8{y}_5-x_7{y}_6+x_6{y}_7-x_5{y}_8+u_4{y}_9+u_3{y}_{10}-u_2{y}_{11}+u_1{y}_{12}+u_8{y}_{13}-u_7{y}_{14}+u_6{y}_{15}-u_5{y}_{16}\\ z_5& =& x_5{y}_1-x_6{y}_2-x_7{y}_3-x_8{y}_4+x_1{y}_5+x_2{y}_6+x_3{y}_7+x_4{y}_8+u_5{y}_9-u_6{y}_{10}-u_7{y}_{11}-u_8{y}_{12}+u_1{y}_{13}+u_2{y}_{14}+u_3{y}_{15}+u_4{y}_{16}\\ z_6& =& x_6{y}_1+x_5{y}_2-x_8{y}_3+x_7{y}_4-x_2{y}_5+x_1{y}_6-x_4{y}_7+x_3{y}_8+u_6{y}_9+u_5{y}_{10}-u_8{y}_{11}+u_7{y}_{12}-u_2{y}_{13}+u_1{y}_{14}-u_4{y}_{15}+u_3{y}_{16}\\ z_7& =& x_7{y}_1+x_8{y}_2+x_5{y}_3-x_6{y}_4-x_3{y}_5+x_4{y}_6+x_1{y}_7-x_2{y}_8+u_7{y}_9+u_8{y}_{10}+u_5{y}_{11}-u_6{y}_{12}-u_3{y}_{13}+u_4{y}_{14}+u_1{y}_{15}-u_2{y}_{16}\\ z_8& =& x_8{y}_1-x_7{y}_2+x_6{y}_3+x_5{y}_4-x_4{y}_5-x_3{y}_6+x_2{y}_7+x_1{y}_8+u_8{y}_9-u_7{y}_{10}+u_6{y}_{11}+u_5{y}_{12}-u_4{y}_{13}-u_3{y}_{14}+u_2{y}_{15}+u_1{y}_{16}\\ z_9& =& x_9{y}_1-x_{10}{y}_2-x_{11}{y}_3-x_{12}{y}_4-x_{13}{y}_5-x_{14}{y}_6-x_{15}{y}_7-x_{16}{y}_8+x_1{y}_9-x_2{y}_{10}-x_3{y}_{11}-x_4{y}_{12}-x_5{y}_{13}-x_6{y}_{14}-x_7{y}_{15}-x_8{y}_{16}\\ z_{10}& =& x_{10}{y}_1+x_9{y}_2+x_{12}{y}_3-x_{11}{y}_4+x_{14}{y}_5-x_{13}{y}_6-x_{16}{y}_7+x_{15}{y}_8+x_2{y}_9+x_1{y}_{10}+x_4{y}_{11}-x_3{y}_{12}+x_6{y}_{13}-x_5{y}_{14}-x_8{y}_{15}+x_7{y}_{16}\\ z_{11}& =& x_{11}{y}_1-x_{12}{y}_2+x_9{y}_3+x_{10}{y}_4+x_{15}{y}_5+x_{16}{y}_6-x_{13}{y}_7-x_{14}{y}_8+x_3{y}_9-x_4{y}_{10}+x_1{y}_{11}+x_2{y}_{12}+x_7{y}_{13}+x_8{y}_{14}-x_5{y}_{15}-x_6{y}_{16}\\ z_{12}& =& x_{12}{y}_1+x_{11}{y}_2-x_{10}{y}_3+x_9{y}_4+x_{16}{y}_5-x_{15}{y}_6+x_{14}{y}_7-x_{13}{y}_8+x_4{y}_9+x_3{y}_{10}-x_2{y}_{11}+x_1{y}_{12}+x_8{y}_{13}-x_7{y}_{14}+x_6{y}_{15}-x_5{y}_{16}\\ z_{13}& =& x_{13}{y}_1-x_{14}{y}_2-x_{15}{y}_3-x_{16}{y}_4+x_9{y}_5+x_{10}{y}_6+x_{11}{y}_7+x_{12}{y}_8+x_5{y}_9-x_6{y}_{10}-x_7{y}_{11}-x_8{y}_{12}+x_1{y}_{13}+x_2{y}_{14}+x_3{y}_{15}+x_4{y}_{16}\\ z_{14}& =& x_{14}{y}_1+x_{13}{y}_2-x_{16}{y}_3+x_{15}{y}_4-x_{10}{y}_5+x_9{y}_6-x_{12}{y}_7+x_{11}{y}_8+x_6{y}_9+x_5{y}_{10}-x_8{y}_{11}+x_7{y}_{12}-x_2{y}_{13}+x_1{y}_{14}-x_4{y}_{15}+x_3{y}_{16}\\ z_{15}& =& x_{15}{y}_1+x_{16}{y}_2+x_{13}{y}_3-x_{14}{y}_4-x_{11}{y}_5+x_{12}{y}_6+x_9{y}_7-x_{10}{y}_8+x_7{y}_9+x_8{y}_{10}+x_5{y}_{11}-x_6{y}_{12}-x_3{y}_{13}+x_4{y}_{14}+x_1{y}_{15}-x_2{y}_{16}\\ z_{16}& =& x_{16}{y}_1-x_{15}{y}_2+x_{14}{y}_3+x_{13}{y}_4-x_{12}{y}_5-x_{11}{y}_6+x_{10}{y}_7+x_9{y}_8+x_8{y}_9-x_7{y}_{10}+x_6{y}_{11}+x_5{y}_{12}-x_4{y}_{13}-x_3{y}_{14}+x_2{y}_{15}+x_1{y}_{16}\end{array}$

Setzt man alle $x_i$ und $y_i$ mit $i>8$ gleich 0, so reduzieren sich diese Identitäten auf Degens Acht-Quadrate Satz (in blau). Die $u_i$ sind

$\begin{array}{ccc}{u}_1& =& \frac{1}{c}(a{x}_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_9-2x_1(b{x}_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16})\\ u_2& =& \frac{1}{c}(x_1^2+a{x}_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{10}-2x_2(x_1{x}_9+b{x}_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16})\\ u_3& =& \frac{1}{c}(x_1^2+x_2^2+a{x}_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{11}-2x_3(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+b{x}_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16})\\ u_4& =& \frac{1}{c}(x_1^2+x_2^2+x_3^2+a{x}_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{12}-2x_4(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+b{x}_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16})\\ u_5& =& \frac{1}{c}(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+a{x}_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{13}-2x_5(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+b{x}_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16})\\ u_6& =& \frac{1}{c}(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+a{x}_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{14}-2x_6(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+b{x}_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16})\\ u_7& =& \frac{1}{c}(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+a{x}_7^2+x_8^2)x_{15}-2x_7(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+b{x}_7{x}_{15}+x_8{x}_{16})\\ u_8& =& \frac{1}{c}(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+a{x}_8^2)x_{16}-2x_8(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+b{x}_8{x}_{16})\end{array}$

wobei

$a=-1,b=0,c=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2.$

Bemerkungen

Die Identität zeigt, dass im Allgemeinen das Produkt zweier Summen von sechzehn Quadraten wieder die Summe von sechzehn rationalen Quadraten ist. Nebenbei erfüllen die $u_i$ noch die Gleichung

$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2+u_6^2+u_7^2+u_8^2=x_9^2+x_{10}^2+x_{11}^2+x_{12}^2+x_{13}^2+x_{14}^2+x_{15}^2+x_{16}^2$

Es gibt keine Sechzehn-Quadrate-Identität, bei der die $z_i$ bilinear von den $x_i$ und $y_i$ abhängen, denn der Kompositionssatz von Hurwitz besagt, dass eine Identität der Form

$(x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots +x_n^2)\cdot (y_1^2+y_2^2+y_3^2+\cdots +y_n^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+\cdots +z_n^2$,

bei der die $z_i$ bilineare Funktionen der $x_i$ und $y_i$ sind, nur für $n\in \{1,2,4,8\}$ möglich ist.

Allerdings zeigt der allgemeinere Satz von Pfister (1965), dass wenn die $z_i$ rationale Funktionen in einem Satz der Variablen sind, solche Identitäten für $n=2^m$ möglich sind. Es gibt auch nicht-bilineare Versionen von Eulers Vier-Quadrate-Identität und von Degens Acht-Quadrate-Identität.

Siehe auch

• Brahmagupta-Identität
• Sedenion

Weblinks

• Pfister's 16-Square Identity