Integration-by-parts-Operator

Ein Integration-by-parts-Operator ist ein linearer Operator, der eine Formulierung der partiellen Integration ermöglicht. Der Operator ist vor allem in Räumen von unendlicher Dimension interessant und wird hauptsächlich im Malliavin-Kalkül aus der stochastischen Analysis verwendet.

Integration-by-parts-Operator

Sei $E$ ein Banach-Raum, sodass $E$ und der topologische Dualraum $E^{*}$ separable Räume sind, und $\mu$ ein Borelmaß auf $E$. Sei $S$ eine fixierte Untermenge des Funktionenraums auf $E$. Mit $\mathrm{D}\varphi$ bezeichnen wir die Fréchet-Ableitung von $\varphi$. Ein linearer Operator $\mathrm{P}:S\to L^2(\mu )$ heißt Integration-by-parts-Operator (kurz IPO) für $\mu$ falls

$\underset{E}{\int }\mathrm{D}\phi (x)h(x)\mathrm{d}\mu (x)=\underset{E}{\int }\phi (x)(\mathrm{P}h)(x)\mathrm{d}\mu (x)$

für jede C¹-Funktion $\phi :E\to ℝ$ und jedes $h\in S$ gilt, mit dem beide Seiten existieren.

Beispiele

Betrachte einen abstrakten Wiener-Raum $(H,E,\mu )$ mit Gaußschem Maß $\mu :H\to E$. Man kann $E^{*}$ als Unterraum von $E$ unter der Inklusion

$E^{*}\stackrel{i^{*}}{\to }{H}^{*}\cong H\stackrel{i}{\to }E$

auffassen. Sei $S$ ein Unterraum von $C^1(E,E^{*})$. Für $h\in S$ definiere

$(\mathrm{P}h)(x):=h(x)x-{\mathrm{Tr}}_H\mathrm{D}h(x).$

Dann ist $\mathrm{P}$ ein Integration-by-parts-Operator. Der Beweis folgt aus dem Divergenzsatz für abstrakte Wiener-Räume und kann in Elworthy (1974) gefunden werden.