Satz von Giroux

In der Mathematik ist der Satz von Giroux ein nach Emmanuel Giroux benannter grundlegender Satz der Kontaktgeometrie.

Aussage

Sei $M$ eine geschlossene, orientierte 3-Mannigfaltigkeit. Dann hat man eine Bijektion zwischen den Isotopieklassen ko-orientierter Kontaktstrukturen auf $M$ und den offenes-Buch-Zerlegungen von $M$ modulo positiver Stabilisierung.

Höherdimensionale Verallgemeinerung

Giroux beweist, dass es zu jeder Kontakt-Mannigfaltigkeit $(M^{2n+1},\alpha )$ ein offenes Buch gibt mit folgenden Eigenschaften:

• $\alpha {\mid }_B$ ist eine Kontaktform auf der Bindung $B$,
• $d\alpha$ ist eine symplektische Form auf den Seiten des offenen Buches,
• die von $d\alpha$ auf den Seiten gegebene Orientierung ist mit der durch $\alpha$ gegebenen Orientierung auf der Bindung kompatibel, das Liouville-Vektorfeld zeigt nach außen.

Literatur

• E. Giroux: On the stable equivalence of open books in three-manifolds. Geom. Topol. 10, 97–114 (2006).