Dysons brownsche Bewegung

Dysons brownsche Bewegung ist die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung, die eine Verbindung zwischen der stochastischen Analysis und der Theorie der Zufallsmatrizen macht. Sie beschreibt den Eigenwert-Prozess einer hermiteschen Zufallsmatrix, deren Einträge Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse sind.

Sie ist nach Freeman Dyson benannt, der sie zuerst entdeckt hatte.

Theorem

Sei ${\mathrm{\Sigma }}^n(x)=({\lambda }_1(x),\dots ,{\lambda }_n(x){)}_{x\ge 0}$ ein stochastischer Prozess mit ${\lambda }_1(x)\le \dots \le {\lambda }_n(x)$. Dann ist ${\mathrm{\Sigma }}^n(x)$ Dysons brownsche Bewegung falls sie die schwache Lösung für

$\mathrm{d}{\mathrm{\Sigma }}_i^n(x)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\beta n}}\mathrm{d}{B}_i(x)+\frac{1}{n}\sum _{i\ne i^{\prime }}\frac{\mathrm{d}x}{{\lambda }_i(x)-{\lambda }_{i^{\prime }}(x)},i=1,\dots ,n$

ist, wobei $\mathrm{d}B$ eine $n$-dimensionale brownsche Bewegung ist. ${\mathrm{\Sigma }}^n$ ist der Eigenwert-Prozess der matrixwertigen Brownschen Bewegung mit $\beta =\{1,2\}$

$X^{n,\beta }(x)=X^{n,\beta }(0)+H^{n,\beta }(x),x\ge 0$

wobei $H^{n,\beta }$ eine hermitesche Zufallsmatrix ist mit Einträgen

$h_{k,l}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{\beta n}}(B_{k,l}+i(\beta -1)B{\text{'}}_{k,l})& k<l\\ \frac{2}{\sqrt{\beta n}}{B}_{l,l}& k=l\end{array}$

und $B_{k,l},B{\text{'}}_{k,l}$ sind iid standard brownsche Bewegungen.