Satz von Schilder

Der Satz von Schilder ist ein Theorem aus der Theorie der großen Abweichungen (Vorlage:EnS). Das Theorem besagt, dass eine klein-skalierte Brownsche Bewegung das Prinzip der großen Abweichungen erfüllt und somit wesentlich von $0$ verschieden ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes ist der Satz von Freidlin-Wentzell.

Aussage

Sei $B_{t\in [0,1]}$ eine standard Brownsche Bewegung auf ${ℝ}^d$. Weiter bezeichne ${𝒞}_0:={𝒞}_0([0,1],{ℝ}^d)$ den Raum der stetigen Funktionen $f:[0,1]\to {ℝ}^d$ mit $f(0)=0$ und ausgestattet mit der Topologie der Supremumsnorms. Seien $({\mu }_{\epsilon })$ die von dem skalierten Prozess $B_{\epsilon }(t):=\sqrt{\epsilon }{B}_t$ induzierten Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${𝒞}_0$.

Mit $H_1$ bezeichne man den Cameron-Martin-Raum in ${𝒞}_0$ bezüglich der Wiener-Maßes, d. h. den Raum aller absolut stetigen funktionen mit $f(0)=0$ mit quadratisch-integrierbarer Ableitung $H_1:=\{f:[0,1]\to {ℝ}^d,f(0)=0,f^{\prime }\in L^2([0,1])\}$

Dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsmaße $({\mu }_{\epsilon })$ wenn $\epsilon \to 0$ das Prinzip der großen Abweichungen mit guter Rate-Funktion

$I_B(f)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f^{\prime }(t){|}^2\mathrm{d}t& f\in H_1\\ \mathrm{\infty }& f\in ̸H_1\end{array}$.

Das heißt für alle offenen $O\subseteq {𝒞}_0([0,1])$ und geschlossenen Mengen $C\subseteq {𝒞}_0([0,1])$

$-\underset{f\in O}{\inf }{I}_B(f)\le \underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{lim\; inf}}\epsilon \log {\mu }_{\epsilon }(O)\le \underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{lim\; sup}}\epsilon \log {\mu }_{\epsilon }(C)\le -\underset{f\in C}{\inf }{I}_B(f)$